Número 13-2 (Julio)

Mathematics education: a discipline of multiples perspectives

Ricardo Cantoral

Disponible en: I

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Construction of the concept of linear dependence in a context of dynamic geometry: a case study

Carmen Aranda Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
M. Luz Callejo Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Disponible en: I

Resumen: Este artículo presenta un experimento de enseñanza en el dominio del álgebra lineal en un contexto de geometría dinámica. Se describe una trayectoria hipotética de aprendizaje para construir el concepto de dependencia lineal en términos del mecanismo de reflexión sobre la relación actividad-efecto. Los resultados muestran que el uso simultáneo del lenguaje analítico y geométrico, así como la interacción dinámica con estos sistemas de representación en un contexto tecnológico, pueden favorecer las generalizaciones necesarias para desarrollar los procesos de abstracción reflexiva que inciden en la elaboración del concepto de dependencia lineal.
Palabras clave: Dependencia lineal, geometría dinámica, experimento de enseñanza, proceso de generalización.

Carmen Aranda Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
ES Pere Mª Orts i Bosch de Alicante, España
M. Luz Callejo Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Departamento de Innovación y Formación Didáctica, Universidad de Alicante, España


Recepción: Agosto 4, 2009
Aceptación: junio 7, 2010


Abstract: This article presents a teaching experiment in the domain of linear algebra in a context of dynamic geometry. It describes a hypothetical learning trajectory in order to construct the concept of linear dependence in terms of the mechanism of reflection on the effect-activity relationship. The results demonstrate that the simultaneous use of analytical and geometrical language, as well as the dynamic interaction with representation systems in a technological context, can encourage the generalizations required in order to develop reflexive abstraction processes that have a bearing on the creation of the concept of linear dependence.
Keywords: Linear dependence, dynamic geometry, teaching experiment, generalization process.

Résumé: S'inscrivant dans un contexte de géométrie dynamique, cet article est la présentation d'une expérience d'enseignement dans le domaine de l'algèbre linéaire. On y décrit une trajectoire hypothétique d'apprentissage afin de construire le concept de dépendance linéaire par rapport au mécanisme de réflexion portant sur la relation activité-effet. Les résultats obtenus montrent que l'utilisation simultanée du langage analytique et de la géométrie, ainsi que celle de l'interaction dynamique avec ces systèmes de représentation dans un contexte technologique, peuvent favoriser les généralisations nécessaires pour développer les processus d'abstraction réfléchissante qui ont une incidence sur l'élaboration du concept de dépendance linéaire.
Mots clés: Dépendance linéaire, géométrie dynamique, expérience pédagogique, processus de généralisation.

Resumo: Este artigo apresenta uma experiência de ensino no domínio do álgebra linear num contexto de geometria dinâmica. Descreve-se uma 'trajetória hipotética de aprendizagem' para la construção do conceito de dependência linear em termos do mecanismo de 'reflexão sobre a relação atividade-efeito'. Os resultados mostram que o uso simultâneo da linguagem analítico e geométrico e a interacção dinâmica com estes sistemas de representação num contexto tecnológico, pode favorecer as generalizaciones necessárias para desenvolver os processos de abstracção reflexiva que implicam a construção do conceito de dependência lineal.
Palavras-chave: Dependência lineal, geometria dinâmica, experiência de ensino, processo de generalização.

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Margot  Berger Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Disponible en: I

Resumen: En este artículo defendemos la tesis de que un marco semiótico permite entender mejor como el uso de un Sistema Computarizado para Algebra (CAS) puede ayudar, o limitar, la actividad matemática. Este trabajo se sitúa en un marco teórico en el que hacer y aprender matemática es considerado un comportamiento semiótico. Partiendo de la noción de signo triádico (representamen, objeto, interpretado) desarrollada por Peirce, afirmamos que el uso de los CAS para cambiar de representamen (representación) en el estudio de un objeto matemático puede ayudar al estudiante a producir varios interpretados (interpretaciones) para este objeto. Esos diferentes interpretados, basados en diferentes representaciones, permiten un acceso epistemológico al objeto. Utilizamos la distinción de Duval entre conversión y tratamiento para distinguir las diferentes formas de actividad semiótica con los CAS. Ilustramos este argumento mediante un extracto del diálogo entre dos estudiantes universitarios mientras resuelven un problema matemático usando las CAS.
Palabras clave: Semiótica, sistema computarizado para álgebra, conversiones e tratamientos, signo de Peirce, polinomio de Mac Laurin.

Margot  Berger Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Division  of  Mathematics  Education,  School  of  Education.  University  of Witwaterstand, South Africa


Recepción: Septiembre 21, 2009
Aceptación: Junio 15, 2010


Abstract: I argue that a semiotic framework enables a rich understanding of how the use of a computer algebra system (CAS) may enable, or constrain, mathematical activity. This argument is rooted in a framework in which the doing and learning of mathematics is regarded as a semiotic endeavour. Using Peirce' s notion of a triadic sign (representamen, object and interpretant), I argue that the ability of the student to move between different representamen (representations) of the same mathematical object with CAS may help the student generate different interpretants (ideas in the mind) for this object. These multiple interpretants, based on multiple representamen, enable epistemological access to the object. I use Duval' s distinction between conversions and treatments to distinguish between the different forms of semiotic activity with the CAS. To illustrate my arguments I examine a vignette in which two undergraduate university students use CAS while solving a mathematical problem.
Keywords: Semiotics, computer algebra system, conversions and treatments, Peirce sign, Maclaurin polynomial.

Résumé: Dans cet article nous défendons la thèse qu'un cadre sémiotique permet de mieux comprendre comment l'usage d'un programme informatique pour l'algèbre (CAS) peut aider, ou contraindre, l'activité mathématique. Nous nous plaçons dans un cadre théorique dans lequel faire et apprendre les mathématiques est considéré comme un comportement sémiotique. À partir de la notion de signe triadique (representamen, objet, interprétant) développée par Peirce, nous affirmons que l'usage des CAS pour changer de representamen (représentation) pour étudier un objet mathématique peut aider l'apprenant à générer différents interprétants pour cet objet. Ces différents interprétants, basés sur différentes représentations, permettent un accès épistémologique à cet objet. Nous utilisons la distinction de Duval entre conversion et traitement pour distinguer les différentes formes d'activité sémiotique avec les CAS. Cet argument est illustré par le protocole d'un dialogue entre deux étudiants universitaires qui résolvent un problème mathématique avec CAS.
Mots clés: Sémiotique, programme informatique pour l'algèbre, conversions et traitements, signe de Peirce, polynôme de Mac Laurin.

Resumo: Neste artigo defendemos a tese de que um quadro semiótico permite perceber melhor como o uso de um Sistema de Álgebra Computacional (CAS) pode apoiar ou limitar a actividade matemática. Este trabalho situa-se num quadro teórico em que fazer e aprender matemática é considerado um comportamento semiótico. Partindo da noção de signo triádico (representamen, objecto, interpretado) desenvolvido por Peirce, afirmamos que o uso dos CAS para mudar de representamen (representação) no estudo de um objecto matemático pode ajudar o estudante a produzir vários interpretados (interpretações) para esse objecto. Esses diferentes interpretados, baseados em diferentes representações, permitem um acesso epistemológico ao objecto. Utilizamos a distinção de Duval entre conversão e tratamento para distinguir as diferentes formas de actividade semiótica com os CAS. Ilustramos este argumento através de um extracto do diálogo entre dois estudantes universitários enquanto resolviam um problema matemático usando os CAS.
Palavras-chave: Semiótica, sistema de álgebra computacional, conversões e tratamentos, signo de Peirce, polinómio de Mac-Laurin.

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The functions and forms of graphs in textbooks: an institutional practice in high school

Francisco Cordero Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Claudia Cen Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Liliana Suárez Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Disponible en: I

Resumen: En este artículo damos a conocer un marco de referencia, con base en la teoría socioepistemológica, sobre los usos de las gráficas que generan las prácticas institucionales en el bachillerato. Mostramos que los funcionamientos y formas de las gráficas mantienen una relación dialéctica, incluso en los libros de texto, y se van resignificando para dar lugar a otros funcionamientos y formas gráficas, lo cual expresa el desarrollo del uso de la gráfica en tres aspectos: los métodos de uso de la graficación, las comprensiones de las gráficas y su funcionalidad.
Palabras clave: Práctica institucional, resignificación, funcionamiento, forma.

Francisco Cordero Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN), México, D.F.
Claudia Cen Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados, Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav-IPN), México, D.F.
Liliana Suárez Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Centro de Formación e Innovación Educativa del Instituto Politécnico Nacional


Recepción: Febrero 10, 2009
Aceptación: Enero 29, 2010


Abstract: This article will provide a reference framework based on socio-epistemological theory in relation to the uses of graphs that generate institutional practices in high school. We will demonstrate that the functionings and forms of graphs maintain a dialectical relationship, even in textbooks, and that they redefine themselves in order to make way for other functionings and graphic forms, which expresses the development of the use of the graph in three aspects: the methods for the use of graphic representation, the understandings of graphs and their functionality.
Keywords: Institutional practice, redefining, functioning, form.

Résumé: En se basant sur la théorie socio-épistémologique, cet article définit le cadre référentiel relatif aux utilisations des graphiques qui résultent des pratiques institutionnelles au lycée. Notre texte démontre que les fonctionnements et les formes des graphiques maintiennent une relation dialectique, y compris dans les ouvrages scolaires, et que cela va jusqu' à leur redéfinition. En conséquence, l'analyse de l'utilisation des graphiques se fait sous trois angles: les méthodes d'utilisation de la représentation graphique, les compréhensions des graphiques y leur fonctionnalité.
Mots clés: Pratique institutionnelle, redéfinition, fonctionnement, forme.

Resumo: Neste artigo damos a conhecer um quadro de referência, com base na teoria sócioepistemológica, sobre os usos dos gráficos que geram as práticas institucionais no ensino secundário. Mostramos que as funcionalidades e formas dos gráficos mantêm uma relação dialéctica, incluindo nos livros de texto, e se vão re-significando para dar lugar a outras representações e formas gráficas, o que expressa o desenvolvimento da aplicação do gráfico em três aspectos: os métodos de uso da graficação, as compreensões dos gráficos e a sua funcionalidade.
Palavras-chave: Prática institucional, re-significação, funcionalidade, forma.

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Acquisition of combinatorial operations by pre-university students by means of a teaching intervention

José António Fernandes Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Paulo Ferreira Correia Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Rafael Roa Guzmán Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Disponible en: I

Resumen: En este artículo se presentan los principales resultados de un trabajo de investigación sobre una intervención de enseñanza y aprendizaje de las operaciones combinatorias en una clase de 2º de B achillerato. La intervención de enseñanza, realizada el año lectivo de 2008/2009, se centró en la secuenciación de las operaciones con base en su grado de dificultad, en las ideas previas de los alumnos sobre las operaciones, en el aprendizaje por descubrimiento y en el trabajo de grupo. Después de terminada la intervención de enseñanza fue realizado un examen en dos fases, concebido para evaluar las adquisiciones de los alumnos en las operaciones combinatorias relativamente a las estrategias utilizadas, al desempeño y a los errores. En general, los resultados revelan que la intervención de enseñanza se ha mostrado eficaz en el desarrollo de las capacidades de raciocinio combinatorio.
Palabras clave: Operaciones combinatorias, enseñanza de las matemáticas, aprendizaje de las matemáticas, intervención de enseñanza y aprendizaje, alumnos de 2º de Bachillerato.

José António Fernandes Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidade do Minho, Portugal
Paulo Ferreira Correia Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Escola Secundária/3 de Barcelos, Portugal
Rafael Roa Guzmán Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidad de Granada, España


Recepción: Octubre 20, 2009
Aceptación: Mayo 12, 2010


Abstract: This article presents the main results of a research study relating to a teaching and learning intervention for combinatorial operations in a 12th grade class. The teaching intervention carried out during school year 2008/2009 focused on the sequencing of operations based on their level of difficulty, on the previous ideas of students in relation to the operations, on learning by discovery and on group work. Once the teaching intervention had been carried out, a two stage exam was applied, designed to evaluate the acquisitions of students in combinatorial operations relating to strategies used, performance and mistakes. In general, the results reveal that the teaching intervention was effective in developing combinatorial reasoning abilities.
Keywords: Combinatorial operations, teaching of mathematics, learning of mathematics, teaching and learning intervention, 12th grade students.

Résumé: Cet article est une présentation des principaux résultats d'un travail de recherche relatif à un face-à-face pédagogique et à l'apprentissage des opérations combinatoires dans une classe de première («deuxième année du lycée»). Le face-à-face pédagogique, qui a eu lieu pendant l'année scolaire 2008/2009, s'est concentré sur la division en séquences des opérations en prenant en compte leur niveau de difficulté, sur les idées préalables des lycéens en ce qui concerne les opérations, sur l'apprentissage par découverte et sur le travail en groupe. Une fois le face-à-face terminé, on a procédé à un examen en deux étapes. Cet examen a été conçu pour évaluer les acquisitions des lycéens en matière d'opérations combinatoires par rapport aux stratégies pédagogiques employées, aux bonnes réponses et aux erreurs. En général, les résultats révèlent que le face-à-face pédagogique a été efficace pour développer les capacités de raisonnement combinatoire.
Mots clés: Opérations combinatoires, enseignement des mathématiques, apprentissage des mathématiques, face-à-face pédagogique et apprentissage, lycéens de première («deuxième année de lycée»).

Resumo: Neste artigo apresentam-se os principais resultados de um trabalho de investigação sobre uma intervenção de ensino e aprendizagem das operações combinatórias numa turma do 12º ano de escolaridade. A intervenção de ensino, realizada no ano lectivo de 2008/2009, centrou-se na sequencialização das operações com base no seu grau de dificuldade, nas ideias prévias dos alunos sobre as operações, na aprendizagem por descoberta e no trabalho de grupo. Depois de terminada a intervenção de ensino foi aplicado um teste em duas fases, concebido para avaliar as aquisições dos alunos nas operações combinatórias relativamente às estratégias utilizadas, ao desempenho e aos erros. Em geral, os resultados revelam que a intervenção de ensino se revelou eficaz no desenvolvimento das capacidades de raciocínio combinatório.
Palavras-chave: Operações combinatórias, ensino da matemática, aprendizagem da matemática, intervenção de ensino e aprendizagem, alunos do 12º ano de escolaridade.

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