Número 15-2 (Julio-Octubre, 2012)

0.167

Ricardo Cantoral
Daniela Reyes-Gasperini
Disponible en: I
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Multiple representations: a contribution for the learning of the concept of function

Jael Miriam Andrade Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Manuel Joaquim Saraiva Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Disponible en: I

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Resumen: En este artículo se presenta un estudio centrado en la comprensión del concepto de función por estudiantes de cuarto de E.S.O -Escuela Secundaria Obligatoria. Estudia las conexiones que los estudiantes establecen entre las diversas representaciones de una función, movilizando e interconectando sus conceptos definición e imagen de una función, siempre que hacen tareas de resolución de problemas, exploratorias e investigativas, y utilizando la calculadora gráfica, mediados por el profesor. Aún estudia la importancia de las representaciones múltiples para el desarrollo del aprendizaje del concepto de función. Pretende también identificar y comprender las dificultades que los estudiantes manifiestan en el aprendizaje de las funciones, conociendo mejor las conexiones hechas por ellos entre las diversas representaciones de las funciones consideradas. Sigue la teoría definida por Duval (registro de representación semiótica) y la teoría cognitivista de Vinner (concepto imagen y concepto definición). Los estudiantes trabajaron en clases de Matemáticas en un ambiente de resolución de problemas, de tareas exploratorias e investigativas, usando la calculadora gráfica. La metodología de investigación adoptada es de tipo cualitativo e interpretativo. La recolección de los datos incluyó un cuestionario inicial, informes escritos por los estudiantes en las clases a lo largo de la unidad didáctica ''Funciones'' y una entrevista a una pareja de estudiantes al final de la enseñanza de la respectiva unidad. Los resultados indican que la coordinación que los estudiantes hacen entre los diversos registros de representación de una función y de diferentes funciones, les permite lograr diferentes perspectivas de una función. La paradoja cognitiva de la comprensión matemática fue destacada por esas estudiantes, a través de la coordinación'que hicieron de los registros de representaciones semióticas (lenguaje natural, algebraico, tablas y gráficos), que les permitió dejar de confundir el objeto matemático función con su representación y, aún, lograr una fuerte convergencia del concepto imagen al concepto definición de función.
Palabras clave: Concepto de función, Representación semiótica de una función, Conexiones entre las representaciones, Concepto imagen de una función, Concepto definición de una función.

Jael Miriam Andrade Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Escola Básica 2,3, Portugal

Manuel Joaquim Saraiva Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidade da Beira Interior e UIDEF, Portugal


Recepción: Febrero 28, 2011
Aceptación: Mayo 20, 2012.

Abstract: This article presents a study focused on the understanding of the concept of function by students of 10th grade. It studies the connections that students establish among the various representations of a function, mobilizing and linking his concepts definition and image of a function, when solving problem-solving tasks, exploratory and investigative tasks and using the graphing calculator, oriented by the teacher. It also studies the importance of multiple representations for the development of the learning of the concept of function. It aims to identify and understand, also, the difficulties that students manifest in the learning of functions, knowing better the connections made by students between the various representations of functions considered.
It follows the theory defined by Duval (register of semiotic representation) and the cognitive theory of Vinner (concept image and concept definition). Students worked in classes of mathematics in an environment of problem solving, exploratory and investigative tasks and using the graphing calculator. The research methodology adopted is a qualitative and interpretative. Data collection included an initial questionnaire, reports written by students in classrooms throughout the didactic unit ''functions'' and an interview with a couple of students after the apprentice. The results indicate that the coordination that students make between the various registers of representation of a function and of different functions allows them to achieve different perspectives of a function. The cognitive paradox of mathematical understanding was highlighted by the students through the coordination that they made of the records of semiotic representations (natural language, algebraic, tabular and graphic), which allowed them to stop confusing the mathematical object function with its representation, and also achieve a strong convergence of the concept image to the concept definition of function.
Keywords: Concept of function, Semiotic representation of a function, Connections between representations, Concept image of a function, Concept definition of a function.

Resumo: Este artigo apresenta um estudo centrado na compreensão do conceito de função por alunos do 10° ano de escolaridade. Estuda as conexões que os alunos estabelecem entre as diversas representações de uma função, mobilizando e interligando os seus conceitos definição e imagem de uma função, ao resolverem tarefas de resolução de problemas, exploratórias e investigativas, e usando a calculadora gráfica, mediados pelo professor. Estuda ainda a importância das múltiplas representações para o desenvolvimento da aprendizagem do conceito de função. Pretende identificar e compreender, também, as dificuldades que os alunos manifestam na aprendizagem das funções, conhecendo melhor as conexões feitas pelos alunos entre as diversas representações das funções consideradas.
Segue a teoria definida por Duval (registo de representação semiótica) e a teoria cognitivista de Vinner (conceito imagem e conceito definição). Os alunos trabalharam em aulas de Matemática num ambiente de resolução de problemas, de tarefas exploratórias e investigativas e usando a calculadora gráfica. A metodologia investigativa adotada é do tipo qualitativo e interpretativo. A recolha dos dados incluiu um questionário inicial, relatórios escritos pelos alunos nas aulas ao longo da unidade didáctica ''Funções'' e uma entrevista a um par de alunas após a sua lecionação. Os resultados indicam que a coordenação que os alunos fazem entre os vários registos de representação de uma função e de funções diferentes permite-lhes alcançar diversas perspetivas de uma função. O paradoxo cognitivo da compreensão matemática foi posto em evidência pelas alunas através da coordenação que fizeram dos registos de representações semióticas (linguagem natural; algébrico; tabelar e gráfico), que lhes permitiu deixar de confundir o objeto matemático função com a sua representação e, ainda, alcançar uma forte convergência do conceito imagem ao conceito definição de função.
Palavras-chave: Conceito defunção, Representação semiótica de uma função, Conexões entre representações, Conceito imagem de uma função, Conceito definição de uma função.

Résumé: Cet article présente une étude centrée sur la compréhension de la notion de fonction par des éléves de seconde. Celui-ciétudie les connexions que les éléves établissent entre les différentes représentations d'une fonction, tout en mobilisant et en reliant leurs concepts définition et image d'une fonction, á travers la résolution de táches et de problémes, explorations et investigations, tout en utilisant la calculatrice graphique, 'orientée par l'enseignant. II étudie également l'importance de multiples représentations pour le développement de l'apprentissage du concept de fonction. II vise à identifier et à comprendre, aussi, les difficultés que les éléves manifestent à l'apprentissage des fonctions, tout en connaissant d'avantage les connexions établies par les éléves, parmi les différentes représentations des fonctions en cause.
En suivant la théorie définie par Duval (enregistrement de representation sémiotique) et la théorie des fonctions cognitives selon Vinner (concept d'image et concept de définition). Les éléves ont travaillé dans le cours de mathématiques, dans une ambiance de tâches de résolution de problémes, explorations et investigations et en utilisant la calculatrice graphique. La méthodologie de recherche adoptée est une analyse qualitative et interprétative. La collecte des données comprenait un questionnaire initial, des rapports écrits par les éléves dans les classes tout au long de l'unité didactique «Fonctions» et une entrevue à une paire d'étudiants à la fin des cours de cette unité didactique. Les résultats indiquent que la coordination que les éléves font entre les différents enregistrements de représentation d'une fonction et de différentes fonctions, leur permet d'atteindre divers points de vue d'une fonction. Le paradoxe cognitif de la compréhension mathématique a été mis en évidence par les étudiantes grâce à la coordination qu'elles ont établi des enregistrements de représentations sémiotiques (un langage naturel, algébrique, par tableaux et en graphiques), qui leur a permis de cesser de confondre la fonction d'objet mathématique avec sa représentation, et d'en parvenir également à une forte convergence d'el concept image au concept définition de fonction.
Mots clés: Concept defonction, Representation sémiotique d'une fonction, Connexions entre les représentations, Concept image d'une fonction, Concept définition d 'une fonction.

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The normative and meta-normative dimensions in a context of exploratory-investigative classes

Adriana Assis Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Juan D. Godino Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Cristina Frade Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Disponible en: I

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Resumen: En este trabajo exploramos las dimensiones normativa y metanormativa que regulan las interacciones en la clase de matemáticas y dan forma a la participación de profesoras y alumnos, en un contexto de una tarea exploratorio-investigativa sobre patrones, implementada en una clase de 7° año de la Enseñanza Básica (alumnos de aproximadamente 12 años). Identificamos las normas y metanormas utilizando como herramientas teóricas dos modelos de análisis diseñados para describir e interpretar los procesos interactivos en el aula. Como consideraciones finales, destacamos la importancia de que el profesor tome consciencia de la trama compleja de normas y metanormas involucradas en las prácticas matemáticas y didácticas, así como la necesidad de que las gestione (negociando o cambiando), en cada momento de la actividad, para garantizar la optimización del aprendizaje de los estudiantes.
Palabras clave: Clase investigativa, Enfoque ontosemiótico, Normas, Metanormas, Patrones.

Adriana Assis Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte / MG, Brasil.

Juan D. Godino Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidade de Granada, Espanha.

Cristina Frade Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte / MG, Brasil.

Recepción: Julio 1, 2011
Aceptación: Mayo 24, 2012.

Abstract: This paper explores the normative and meta-normative dimensions that regulate the interactions in mathematics classroom and shape the participation of teachers and students in a context of an exploratory-investigative task about patterns. This task was implemented in a 7th grade of a basic public school (approximately 12-years-old pupils). Norms andmeta-norms were identified using as theoretical tools two models of analysis designed to describe and to interpret the processes of interaction in the classroom. We conclude by highlighting the importance of the teacher becomes aware of the complex network of norms and meta-norms involved in mathematical and didactic practices, as an important resource for managing (negotiating or changing) them, at each moment of the activity, to ensure optimization of student learning.
Keywords: Investigative class, Onto-semiotic aproach, Norms, Meta-norms, Patterns.

Resumo: Neste trabalho exploramos as dimensões normativa e metanormativa, que regulam as interações na aula de Matemática e dão formato à participação de professoras e alunos, em um contexto de uma tarefa exploratório-investigativa sobre padrões, implementada em uma classe de 7° ano do Ensino Fundamental (alunos de aproximadamente 12 anos). identificamos normas e metanormas utilizando como ferramentas teóricas dois modelos de análise concebidos para descrever e interpretar os processos interativos em sala de aula. Como considerações finais, ressaltamos a importância de o professor ter consciência da trama complexa de normas e metanormas envolvidas nas práticas matemáticas e didáticas, assim como da necessidade de que as gerencie (negociando ou alterando), em cada momento da atividade, para garantir a otimização da aprendizagem dos alunos.
Palavras-chave: Aula Investigativa, Enfoque ontossemiótico, Normas, Metanormas, Padrões.

Résumé: Dans ce travail, nous explorons les dimensions normatives et méta-normatives, qui réglementent les interactions dans la classe de mathématiques et donnent forme à la participation des professeurs et des étudiants dans un contexte d'une tâche d'exploration-investigation sur des normes qui sont implémentées dans une classe de 7ème de cours élémentaire (étudiants âgés de 12 ans à peu près). Normes et méta-normes sont identifiées utilisent comme outils théoriques deux modèles d'analyse destinée à décrire et interpréter les processus d'interaction dans la classe. Comme considérations finales, nous soulignons l'importance du profes seur prend conscience de la trame complexe de normes et méta-normes impliqués dans les pratiques mathématiques et didactiques, comme la nécessité pour les gérer (négociation ou changement), chaque moment de l'activité, afin de assurer l'optimisation de l'apprentissage des étudiants.
Mots clés: Cours de recherche, Approche ontosémiotique,, Normes, Méta-normes, Modèles.

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Validation of a genetic decomposition of linear transformation: An analysis refined by the implementation of the research cycle related to APOS theory

Solange Roa-Fuentes Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Asuman Oktaç Oktaç@cinvestav.mx

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Resumen: Tomando el análisis teórico propuesto en Roa-Fuentes y Oktaç (2010), se presenta el desarrollo de la tercera componente del ciclo de investigación de la teoría APOE: análisis y verificación de datos. Mediante el diseño y aplicación de una prueba diagnóstico y una entrevista, se plantea una descomposición genética refinada del concepto transformación lineal. Con base en el análisis de los datos se sugiere el desarrollo de modelos de clase que tomen en consideración los resultados de investigación, así como ideas metodológicas sobre cómo construir este concepto.
Palabras clave: Teoría APOE, Ciclo de investigación, Transformación lineal, Análisis de datos.

Solange Roa-Fuentes Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Universidad Industrial de Santander. Grupo de Investigación Educación Matemática, EDUMAT- UIS, Colombia. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, México.

Asuman Oktaç Oktaç@cinvestav.mx
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, México.

Recepción: Marzo 1, 2012
Aceptación: Junio 11, 2012.


Abstract: Based on the theoretical analysis in Roa-Fuentes and Oktaç (2010), we present the third component of the research cycle related to APOS theory: data analysis and verification. Using the design and application of a diagnostic test and an interview, we propose a refined genetic decomposition of the linear transformation concept. Based on the data analysis we suggest the development of lesson models that would take into account the research results, and some methodological ideas to build this concept.
Keywords: APOS theory, Research cycle, Linear transformation, Data analysis.

Resumo: Levando em conta a análise teórica proposta em Roa-Fuentes e Oktaç (2010), apresenta-se o desenvolvimento do terceiro componente do ciclo de pesquisa da teoría APOE: análise e verificacao dos dados. Através da criacao e aplicacao de um diagnóstico e urna entrevista, propoe-se urna decomposicao genética refinada do conceito de transformacao linear. Com base na análise dos dados, sugere-se o desenvolvimento de modelos de classe que levem em consideracao os resultados da pesquisa, assim como ideias metodológicas sobre como construir esse conceito.
Palavras-chave: Teoria APOECiclo de pesquisa, Transformaçào linear, Análise de dados.

Résumé: Prenant en compte l'analyse théorique proposée chez Roa-Fuentes et Oktaç (2010), cet article présente le développement de la troisième composante du cycle de recherche propre àla théorie APOS : analyse et vérification des données. Par le biais de la conception et de l'application d'un diagnostic et au moyen d'un entretien, une décomposition génétique 'affinée du concept de transformation linéaire est envisagée. 'En se basant sur l'analyse des données, le développement des 'modèles de classe est suggéré, qui prennent en considération 'aussi bien les résultats des travaux de recherche que les idées 'méthodologiques pour expliquer comment il est possible de 'construire ce concept.
Mots clés: Théorie APOS, Cycle de recherche, Transformation linéaire, Analyse de données.

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High school students' structural sense in the context of simplification of algebraic fractions that involve notable equations

Danellys Vega-Castro Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Marta Molina Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Encarnación Castro Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
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Resumen: En este artículo se analiza el sentido estructural que estudiantes de primero de bachillerato (de 16 a 18 años) ponen de manifiesto al trabajar con expresiones algebraicas simples y complejas, en el contexto de la simplificación de fracciones algebraicas que involucran las igualdades notables: cuadrado de la suma, cuadrado de la diferencia, diferencia de cuadrados y propiedad distributiva o factor común. Por medio de una prueba escrita elaborada para tal fin, se detecta un amplio espectro de niveles de sentido estructural. Estos niveles dan cuenta de la aplicabilidad del conocimiento sobre igualdades notables de dichos estudiantes. El análisis realizado permite avanzar en la comprensión del constructo sentido estructural identificando algunas de las habilidades que lo componen y su papel en las tareas propuestas.
Palabras clave: Igualdades notables, Expresiones algebraicas, Sentido estructural, Estrategias, Simplificación.

Danellys Vega-Castro Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Universidad de Granada

Marta Molina Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidad de Granada
Encarnación Castro Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Universidad de Granada

Recepción: Mayo 11, 2011
Aceptación: Mayo 15, 2012.

Abstract: This article analyzes the structural sense that high school students (16 to 18 years old) demonstrate when working with simple and complex algebraic expressions, in the context of simplification of algebraic fractions that involve notable equations: square of the sum, square of the difference, difference of squares and distributive property or common factor. A written test prepared for this purpose detects a wide spectrum of levels of structural sense. These levels reveal the relevance of students' knowledge of notable equations. The analysis carried out allows us to make progress in understanding the construct structural sense by identifying some of its component skills and its role in the proposed tasks.
Keywords: Notable equations, Algebraic expressions, Structural sense, Strategies Simplification.

Resumo: Neste artigo, analisa-se o sentido estrutural que estudantes de segundo grau (de 16 a 18 anos) manifestam ao trabalhar com expressões algébricas simples e complexas, no contexto da simplificação de frações algébricas que envolvam as igualdades notáveis: o quadrado da soma, o quadrado da diferença, diferença de quadrados e propriedade da distributiva ou fator comum. Através de uma prova escrita elaborada para tal fim, é detectado um amplo espectro de níveis de sentido estrutural. Estes níveis são responsáveis pela aplicação do conhecimento sobre igualdades notáveis por tais estudantes. A análise realizada permite avançar na compreensão do constructo sentido estrutural identificando algumas das habilidades que o componem e seu papel nas tarefas propostas.
Palavras-chave: Igualdades notáveis, Expressões algébricas, Sentido estrutural, Estratégias, Simplificaçâo.

Résumé: Cet article est une analyse du sens structurel que des lycéens (âgés de 16 à 18 ans) expriment lors qu'ils travaillent sur des expressions algébriques simples et complexes et qu'ils doivent simplifier des fractions algébriques qui impliquent des égalités remarquables : carré de la somme, carré de la différence, différence des carrés, propriété distributive et facteur commun. Par l'intermédiaire d'une épreuve écrite conçue dans ce but, un grand nombre de niveaux de sens structurels est détecté. Tous ces niveaux révèlent les différents degrés de validité des connaissances en ce qui concerne les égalités remarquables de la part de ces étudiants. L'analyse réalisée permet ainsi d'avancer dans la compréhension de la construction du sens structurel en identifiant quelques-unes des aptitudes qui le composent et le rôle joué par ce dernier lors des travaux réalisés par les lycéens.
Mots cles: Egalités remarquables, Expressions algébriques, Sens structurel, Stratégies, Simplification.

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Revista actual completa

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REVISTA LATINOAMERICANA DE INVESTIGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA – RELIME
ISSN 1665-2436 | e-ISSN 2007-6819
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Publicación cuatrimestral editada por el Colegio Mexicano de Matemática Educativa A.C.
Editor responsable: Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza | Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, Oficina 101
Av. Instituto Politécnico Nacional 2508. Col. San Pedro Zacatenco
C.P. 07360, Del. Gustavo A. Madero.
Tels.
(52) + (55) 57-47-38-00 ext. 6043 Dr. Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza
(52) + (55) 57-47-38-00 ext.6057 Dra. Daniela Reyes Gasperini
(52) + (55) 57-47-38-19 Susana Gómez Vargas
(52) + (55) 57-47-38-00 ext 6012 Dra. Gisela Montiel Espinoza,
 (52) + (55) 57-47-38-00 ext.6008 Ing. Martha Maldonado Rosales