Número 12-2 (Julio)

Silvia Mayén smayen@correo.ugr.es
Instituto Politécnico Nacional, México
Carmen Batanero batanero@ugr.es
Universidad de Granada, España
Carmen Díaz carmen.diaz@dpsi.uhu.es
Universidad de Huelva, España

Recepción: Agosto 20, 2008
Aceptación: Junio 2, 2009

Abstract: This study analyzes the responses of 643 Middle and High School students from Mexico to an open ended problem about the comparison of ordinal data. Following the ontosemiotic approach developed by Godino and colleagues, the responses were categorized by the choice of measure of central tendency and the observed semiotic conflicts. A Chi-square test was used to investigate the relationship between the type of response and the level of the students. We observed better results for the secondary students, the majority of whom used the median and the mode, although a greater percentage of them gave no response.
Keywords: Understanding, semiotic conflict, comparison of distributions, ordinal data, mean, median.

Résumé: Les réponses apportées au problème que pose la comparaison de données ordinales portant sur 643 collégiens et lycéens mexicains constituent le sujet de cette présente étude. Faisant nôtre l'approche ontologique et sémiotique proposée par Godino et son équipe de travail, nous procédons à une analyse des réponses ouvertes et à leur classification tout en prenant en compte la mesure de la tendance centrale utilisée et les problèmes sémiotiques qui ont été détectés. Utilisant le test du chi carré, nous abordons les relations qui existent entre le type de réponse donnée et le groupe d'étudiants observés. Nous remarquons de meilleurs résultats chez les collégiens qui utilisent plus régulièrement la médiane et le mode bien qu'ils répondent moins fréquemment aux questions.
Mots clés: Compréhension, problèmes sémiotiques, comparaison de distributions, donnés ordinales, moyenne, médiane.

Resumo: Neste trabalho analisamos as respostas dadas por 643 alunos mexicanos, do terceiro ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário, a um problema de comparação de dados ordinais. Utilizando as ideias do enfoque Onto-Semiótico proposto por Godino e seus colaboradores, realizamos uma análise das respostas abertas, classificando-as segundo a medida de tendência central usada pelos alunos na resolução e os conflitos semióticos detectados. O teste de Qui-quadrado foi usado para analisar a relação entre o tipo de resposta e o grupo de estudantes. Observamos melhores resultados com os alunos do Ensino Básico, que utilizam mais vezes a mediana e a moda, contudo também deixam com maior frequência respostas em branco.
Palavras-chave: Compreensão, conflitos semióticos, comparação de distribuições, dados ordinais, média, mediana.

Núria Planas nuria.planas@uab.cat
Universitat Autònoma de Barcelona, España
Núria Iranzo nuria.iranzo@uab.cat
Universitat Autònoma de Barcelona, España

Recepción: Diciembre 18, 2008
Aceptación: Mayo 18, 2009

Abstract: In this article, a part of model to analyze the description and interpretation of interactions inside the mathematics classroom is presented. The importance of real classroom cases that contribute to the deconstruction and interpretation of the mathematics classroom is argued from the double prospective of the mathematical content and the social interactions. To do so, the operational use and the integration of notions associated with different theoretical traditions, especially the ones related to mathematical practices, sociomathematical norms, and conflict of meanings are presented. Once the analytical model is described, its use is applied to a transcribed episode of a lesson in a secondary classroom of Barcelona, Spain. Finally, reflections about the interest and potential of the model to generate scientific knowledge about the interaction in teaching and learning mathematics situations are discussed.
Keywords: Process of interaction, classroom data, mathematical practices, sociomathematical norms, conflicts between meanings.

Résumé: On présente dans cet article une partie d'un modèle d'analyse pour la description et interprétation de processus d'interaction en classe de mathématiques. On argumente l'importance d'introduire des expériences réalisées en classe qui contribuent à déconstruire et interpréter la classe de mathématiques avec la double perspective des contenus mathématiques et de l'interaction sociale. Dans ce but, on met en question l'intégration et l'usage opératif de notions associées à différentes traditions théoriques: la pratique mathématique, les normes socio-mathématiques et les conflits entre les divers sens. Après avoir décrit le modèle d'analyse développée, celui-ci est appliqué à une expérience réalisée avec des élèves de l'école secondaire de Barcelone (Espagne). Finalement, on présente des réflexions sur l'intérêt et la puissance du modèle pour le développement de connaissance scientifique sur l'interaction dans des situations d'enseignement et apprentissage des mathématiques.
Mots clés: Processus d'interaction, données de classe, pratiques en mathématiques, normes socio-mathématiques, conflits entre sens.

Resumo: Neste artigo apresentamos parte de um modelo de análise para a descrição e interpretação de processos de interacção na aula de Matemática. Defendemos a importância de introduzir casos reais de sala de aula que contribuam para desconstruir e interpretar a aula de Matemática, desde a dupla perspectiva dos conteúdos matemáticos e da interacção social. Para isso, privilegiamos o uso operativo e a integração de noções associadas a tradições teóricas distintas, principalmente as de prática matemática, norma sociomatemática e conflito de significados. Uma vez descrito o modelo de análise, este é aplicado à transcrição de um episódio de sala de aula ocorrido numa aula do Ensino Secundário, de uma escola de Barcelona, em Espanha. Finalmente, reflectimos sobre o interesse e as potencialidades do modelo para gerar conhecimento científico sobre a interacção em situações de ensino e aprendizagem de Matemática.
Palavras-chave: Processos de interacção, dados de aula, práticas matemáticas, normas sociomatemáticas, conflitos entre significados.

Luis Radford Lradford@laurentian.ca
Université Laurentienne, Ontario, Canadá
Mélanie André melanie.andre@utoronto.ca
Université Laurentienne, Ontario, Canadá

Recepción: Enero 28, 2009
Aceptación: Mayo 29, 2009

Abstract: In this article, we discuss the problem of the relationship between brain, mathematics, and cognition. In the first part, we present some elements concerning the anatomy of the brain and its growth. Against this background and drawing on current neuroscience research, we offer a summary of the cerebral parts usually associated with arithmetic thinking and the transition from perceptual arithmetic (common to several species) to symbolic arithmetic (specific to the human species only). Our discussion then turns around brain research and algebra. The literature review offers a general panorama that points out the multimodal nature of cognition in general and mathematical cognition in particular. This multimodal nature of cognition is compatible at different levels with the ontogenetic development of the brain a development that turns out to be strongly related to the cultural context. In the conclusions we suggest some problems and questions that may be useful contact points for a research program between educators and neuroscientists.
Keywords: Brain, mathematics, algebra, brain plasticity, multimodality.

Résumé: Dans cet article, nous abordons le problème de la relation entre cerveau, mathématiques et cognition. Dans la première partie, nous présentons certains éléments en relation avec l'anatomie et la croissance du cerveau. À partir de ces éléments et de résultats récents de la recherche neurologique, nous présentons, dans la deuxième partie, un sommaire des parties cérébrales généralement associées à la pensée arithmétique. Nous payons une attention particulière à un problème intéressant du point de vue didactique, à savoir celui des régions corticales activées lors de la transition de la pensée arithmétique perceptuelle (présente chez plusieurs espèces) à la pensée arithmétique symbolique calculatoire (spécifique à l'humain seulement). Par la suite, nous faisons un résumé des recherches effectuées en neuroscience qui touchent la question des régions corticales activées par la pensée algébrique. La recension des recherches dans ce domaine offre un panorama général qui souligne la conception multimodale de la cognition en générale et de la cognition mathématique en particulier. Cette nature multimodale de la cognition est compatible à plusieurs niveaux avec le développement ontogénétique du cerveau, développement qui s'avère fortement lié au contexte culturel. Dans les conclusions, nous suggérons certains problèmes et questions qui pourraient servir de point de départ d'un programme de recherche entre éducateurs et neuroscientifiques.
Mots clés: Cerveau, mathématiques, algèbre, plasticité du cerveau, multimodalité.

Resumo: Neste artigo, abordamos o problema da relação entre cérebro, cognição e matemática. Na primeira parte, apresentaremos certos elementos em relação à anatomia e o crescimento do cérebro. À partir destes elementos e de resultados recentes da pesquisa em neurociências, na segunda parte, nós apresentaremos um esboço das regiões cerebrais geralmente associadas ao pensamento aritmético. Em particular, apresentamos um problema interessante do ponto de vista didático, qual seja, as regiões corticais ativadas quando da passagem do pensamento aritmético perceptual (presente em várias espécies) ao pensamento aritmético simbólico calculatório (específico dos seres humanos). Em seguida, fazemos um resumo das pesquisas efetuadas em neurociências relativas à Algebra. A revisão da literatura oferece um panorama geral que destaca a natureza multimodal da cognição em geral e da congnição matemática em particular. Esta natureza multimodal da cognição é compatível com vários níveis do desenvolvimento ontogénico do cérebro, desenvolvimento que resulta ser fortemente ligado ao contexto cultural. Nas conclusões, sugerimos certos problemas e questões que poderiam servir de ponto de partida de um programa de pesquisa para educadores e neurocientistas.
Palavras-chave: Cérebro, matemática, álgebra, plasticidade do cérebro, multimodalidade.

M. Alejandra Sorto sorto@txstate.edu
Texas State University – San Marcos, USA
Jeffery H. Marshall jmarshall@sapere.org
Sapere Development Solutions, USA
Thomas F. Luschei tluschei@lsi.fsu.edu
Florida State University, USA
Martin Carnoy carnoy@stanford.edu
Stanford University School of Education, USA

Recepción: Septiembre 5, 2008
Aceptación: Abril 30, 2009

Abstract: This study examines the relationship between mathematical knowledge for teaching, the preparation of and classroom practices of third and seventh grade teachers in Panama and Costa Rica. Mathematical content and pedagogical knowledge are measured with an instrument that includes three levels: basic content, advanced content and content situated in the teaching learning context. The quality of teacher practice was evaluated via a rubric applied to videotaped lessons. In Panama and Costa Rica, responses to questions designed to measure specialized knowledge for teaching and evaluation of the teacher practice revealed deficiencies in this critical domain. In addition, some significant relationships were found between each of these aspects of teacher knowledge and characteristics of the teachers.
Keywords: Teacher mathematical knowledge, pedagogical content knowledge, multivariate methods, classroom observations, mathematical teaching practices.

Résumé: L'examen des relations entre, d'une part, la connaissance didactique des mathématiques et, d'autre part, la préparation et les pratiques des enseignants pour des écoliers âgés de 8 ans et de 12 ans au Panama et au Costa Rica constitue le sujet de cette étude. Les connaissances en mathématiques et la didactique en rapport sont évaluées grâce à un instrument de mesure qui inclut des mathématiques de trois niveaux: mathématiques de base, mathématiques à niveau plus avancé et mathématiques plus centrées sur les exercices d'application dans le cadre de situations mêlant enseignement et apprentissage. Les pratiques enseignantes sont enregistrées sur bande vidéo et la qualité est évaluée en commun. Au Panama et au Costa Rica, les pratiques enseignantes et les réponses apportées à des questions conçues pour évaluer les connaissances spécialisées mettent en relief certaines déficiences dans ce domaine critique. Cette étude se pose aussi la question suivante: dans quelle mesure chacune de ces formes de connaissance peut être évaluée à partir des caractéristiques des enseignants? On peut affirmer que certains des résultats auxquels nous parvenons sont significatifs.
Mots clés: Connaissance mathématique du professeur, connaissance pédagogique des contenus, méthodes multivariées, observation des classes, pratiques enseignantes pour les mathématiques.

Resumo: Este estudo tem como finalidade analisar a relação entre o conhecimento didáctico da Matemática, a preparação e as práticas dos docentes dos terceiro e sétimo anos no Panamá e na Costa Rica. O conhecimento matemático e a sua didáctica são avaliados com um instrumento que inclui Matemática a três níveis: um básico, outro mais avançado e um mais relacionado com a aplicação em situações de ensino-aprendizagem; as práticas docentes são gravadas em vídeo e a sua qualidade é avaliada através de uma rúbrica comum. No Panamá e na Costa Rica, as práticas docentes e as respostas às questões construídas para avaliar o conhecimento especializado mostram deficiências neste domínio crítico. Desta forma, avaliamos em que medida cada uma destas formas de conhecimento pode ser diagnosticada com base nas características dos docentes e salientamos alguns resultados significativos.
Palavras-chave: Conhecimento matemático, conhecimento pedagógico do conteúdo, métodos multivariados, observações de aula, práticas docentes em Matemática.