Número especial 17 (Diciembre, 4-II)
A Mathematical Work Space for the Explanation of the Geometrical Meanings of Multiplication of real and complex numbers: Semiotic Mediation and Students’ Chosen Paths
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Résumé: Ce travail contribue, d’une part, à déterminer les implications didactiques d’une analyse des travaux épistémologiques portant sur la mise en relation entre nombres, calcul et géométrie et, d’autre part, à constituer un cadre théorique favorisant l’analyse du travail mathématique des élèves lors de la rencontre entre un objet mathématique et son sens en géométrie. Notre articulation théorique porte principalement sur l’Espace de Travail Mathématique et la médiation sémiotique. La méthode d’analyse sera esquissée pour finalement présenter une partie de nos résultats de recherche. Ces résultats portent sur la détermination de parcours d’individus résultant des interactions produites entre les différents plans d’un Espace de Travail Mathématique. Les productions des élèves rendent compte des obstacles ainsi que des indices leur permettant de mettre en lien la multiplication et certaines de ses significations géométriques.
Mots clés: Espace de Travail Mathématique, Médiation sémiotique, Registres de représentation, Parcours des élèves, Produit de nombres réels et complexes, Signe - artefact.
Reçu: 24 Janvier 2013
Accepté: 14 Décembre 2013
Resumen: Este trabajo contribuye, por un lado, a determinar las implicaciones didácticas de un análisis de trabajos epistemológicos que relacionan números, cálculo y geometría y, por otro lado, a constituir un marco teórico que favorece el análisis del trabajo matemático de los alumnos en el proceso de encuentro entre un objeto matemático y la construcción de su sentido en geometría. El marco teórico consiste en una articulación de elementos asociados al Espacio de Trabajo Matemático y a la mediación semiótica. El método de análisis será bosquejado para presentar finalmente una parte de nuestros resultados de la investigación. Estos resultados corresponden a la determinación de trayectorias de individuos, las cuales resultan de diversas interacciones producidas entre los diferentes planos del Espacio de Trabajo Matemático. Las producciones de los alumnos dan cuenta tanto de los obstáculos como de los inicios que les permitieron relacionar la multiplicación y algunas de sus significaciones geométricas.
Palabras clave: Espacio de Trabajo Matemático, Mediación semiótica, Registros de representación, Trayectorias de los alumnos, Producto de números reales y complejos, Signo - artefacto.
Abstract: This work contributes, on one hand, to determine the didactical implications of an analysis of epistemological works on the association of numbers, calculus and geometry, and, on the other hand, to constitute a theoretical framework favoring the analysis of students’ mathematical work at the meeting point between a mathematical object and its sense in geometry. Our theoretical framework concerns mostly the Mathematical Working Space and the semiotic mediation. The analysis method will be sketched to ultimately present a part of our research results. These results relate to the determination of a personal path resulting from interactions produced among the diverse Mathematical Working Space dimensions. Their produced results draw attention to the obstacles and cues allowing the association of multiplication to certain geometrical significations.
Keywords: Mathematical Working Space, Semiotic mediation, Representation records, Students’ personal paths, Product of real and complex numbers, Sign - artifact.
Resumo: Este trabalho contribui tanto para a determinação das implicações didáticas de uma análise de trabalhos epistemológicos sobre a ligação entre números, cálculo e geometria, quanto para o estabelecimento de um arcabouço teórico que favoreça a análise do trabalho matemático dos alunos, no encontro entre um objeto matemático e seu sentido na geometria. Nossa articulação teórica aborda principalmente o Espaço de Trabalho Matemático e a mediação semiótica. O método de análise será esboçado para apresentar uma parte de nossos resultados de pesquisa. Esses resultados abordarão a determinação das trajetórias individuais, resultantes das interações produzidas entre os diferentes planos de um Espaço de Trabalho Matemático. As produções dos alunos levam em conta tanto os obstáculos quanto os indícios que lhes permitam de relacionar a multiplicação a algumas de suas significações geométricas.
Palavras-chave: Espaço de trabalho matemático, Mediação semiótica, Registros de representação, Trajetória dos alunos, Produto dos números reais e complexos, Signo - artefato.
Relaciones del espacio de trabajo matemático con las conversiones entre representaciones y la solución de problemas en la suma de fracciones
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Abstract: The present study is focused on the cognitive level of Mathematical Working Space (MWS) and the component of the epistemological level related to semiotic representations in fraction addition. A test measuring students’ conversion and problem - solving ability in fraction addition was developed and administered to 388 primary and secondary school students (about 11-14 years old) three times. Multivariate analysis of variance (MANOVA) for repeated measures and implicative method revealed that the students’ performance improved as they move within primary school and within secondary school. A hiatus in performance progress is indicated, though, when the students moved from primary to secondary school. This finding is in line with a compartmentalized way of thinking indicated for this age group. Didactical implications are discussed.
Keywords: Conversion, Problem solving, Fraction addition, Transition, Mathematical Working Space.
Received: 14 January 2013
Accepted: 15 December 2013
Resumen: El presente estudio se enfocó en el nivel cognitivo del Espacio de trabajo matemático (ETM) y el componente de nivel epistemológico relacionado con representaciones semióticas en la suma de fracciones. Se desarrolló un test que mide la habilidad de los estudiantes para la conversión y la resolución de problemas en la suma de fracciones y se aplicó en tres ocasiones a 388 estudiantes de primaria y secundaria (aproximadamente de 11 a 14 años de edad). Un análisis multivariado de la varianza (MANOVA, por sus siglas en inglés) con medidas repetidas y método implicativo reveló que el rendimiento de los estudiantes mejoró conforme avanzaban en la primaria y secundaria. Sin embargo, se indica que el progreso en el rendimiento tiene una interrupción cuando los estudiantes avanzan de la primaria a la secundaria. Este descubrimiento concuerda con la forma de pensar compartimentalizada indicada para este grupo de edad. Se discuten las implicaciones didácticas.
Palabras clave: Conversión, Resolución de problemas, Suma de fracciones, Transición, Espacio de Trabajo Matemático.
Resumo: Este estudo centra-se no nível cognitivo do Espace de Trabalho Matemático (ETM) e a componente do nível epistemológico relacionado com as representações semióticas da adição de fracções. Um teste foi desenvolvido para medir a capacidade de conversão de registos dos alunos e o uso de estratégias de resolução de problemas de adição de fracções. Este teste foi aplicado três vezes a 388 alunos do ensino primário e secundário (alunos entre 11 e 14 anos). A análise de variância multivariada (MANOVA) para medidas repetidas e a análise implicativa revelaram uma melhoria do desempenho dos alunos quando eles se mantêm no mesmo grau (primário e secundário). No entanto, uma lacuna na evolução do desempenho ocorre quando os alunos passam do primário para o secundário. Este resultado é suportado pelo pensamento compartimentado que caracteriza este grupo etário. Algumas implicações educacionais são discutidas.
Palavras-chave: Conversão, Resolução de problemas, Adição de fracções, Transição, Espaço de Trabalho Matemático.
Résumé: La présente étude est centrée sur le niveau cognitif de l’Espace de Travail Mathématique (ETM) et sur la composante du niveau épistémologique liée aux représentations sémiotiques de l’addition des fractions. Un test mesurant les capacités de conversion des étudiants et de résolution de problèmes dans l’addition des fractions a été développé. Ce test a été appliqué à 388 élèves du primaire et du secondaire (entre 11 et 14 ans) trois fois. Une analyse de variance multivariée (MANOVA) pour les mesures répétées, ainsi qu’une analyse implicative, ont révélé que la performance des étudiants s’améliore au sein du même niveau scolaire (primaire, secondaire). Toutefois, un hiatus dans le progrès des performances apparaît quand les étudiants passent de l’école primaire au secondaire. Ce résultat est soutenu par la façon compartimentée de penser qui caractérise ce groupe d’âge. Des implications didactiques sont discutées.
Mots clés: Conversion, La résolution de problèmes, Addition de fractions, Transition, Espace de Travail Mathématique.
Registers and strata in MWS to the service of functional thinking
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Resumen: En este artículo nos interesamos en el tema de funciones reales de variable real, desde la perspectiva de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM). En la primera parte señalamos observaciones hechas con varios públicos que dan crédito a la hipótesis de que el saber álgebra no es suficiente para los tratamientos que ponen en juego las funciones. Se necesita un pensamiento que calificamos como funcional que precisamos en una segunda parte. En la última parte presentamos los resultados de un taller exploratorio dirigido a profesores del nivel medio superior, organizado con el propósito de profundizar nuestra hipótesis. La especificidad del estudio propuesto fue que los participantes trabajaron en grupos, considerando para todos la misma situación matemática pero cada grupo utilizaría una herramienta diferente. Los grupos, caracterizados por las herramientas que utilizaron, fueron los siguientes: “A pie” (papel - lápiz), hoja de cálculo, calculadora, software de cálculo formal y software de geometría dinámica. Los participantes se dieron cuenta de cómo el uso de herramientas tecnológicas ejerce influencia en el proceso de resolución y en el manejo de conceptos.
Palabras clave: Actividad matemática, Pensamiento funcional, Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC), Espacio de Trabajo Matemático (ETM).
Registers and strata in MWS to the service of functional thinking
Recepción: 20 Febrero 2013
Aprobación: 15 Diciembre 2013
Abstract: In this article we are interested on real functions of a real variable, from the perspective of Mathematical Working Spaces (MWS). In a first part of the study, we point out observations made at various levels of teaching, which may give credit to the hypothesis that knowing algebra is not sufficient for treatments which bring the functions into play. It needs a so called functional thought, that we precise in a second part. In a third part, we present the results of an exploratory workshop aimed for high school mathematics teachers, with the purpose of go deeply into our hypothesis. The specificity of the proposed study was that participants worked in groups, all of them considering the same mathematical situation, but each group using its own tool. Groups, characterized by the tools they used, were the following: “On foot” (paper - pencil), Spreadsheet, Calculator, Symbolic Calculus software, Dynamic Geometry software. Participants realized how the use of technological tools exerts influence on the resolution processes and the management of concepts.
Keywords: Mathematical activity, Functional thinking, Information and communications technology (ICT), Mathematical Working Space (MWS).
Resumo: Neste artigo estamos interessados em estudar funções reais duma variável real, no quadro teórico dos espaços de trabalho matemáticos (ETM). Na primeira parte do artigo, apresentamos observações feitas a diferentes níveis de ensino, o que pode dar crédito à hipótese de que o conhecimento da álgebra não é suficiente para tratamentos envolvendo funções, mas que há necessidade de um pensamento – a que chamamos funcional –, e que é especificado na segunda parte. Na terceira parte, apresentamos um workshop exploratório destinado a professores do ensino secundário, organizado com o objectivo de aprofundar a nossa hipótese. Neste estudo, os participantes trabalharam em grupos, estudando todos a mesma situação matemática, cada grupo usando uma ferramenta própria. Os grupos, caracterizados pelas ferramentas que usaram, foram: “de caminhada” (papel e lápis), planilha, calculadora, software de cálculo formal, software de geometria. Os participantes aperceberam-se da influência do uso das ferramentas tecnológicas nos processos de resolução e na gestão dos conceitos.
Palavras-chave: Actividade matemática, Pensamento funcional, Tecnologias de informação e comunicação (TIC), Espaço de Trabalho Matemático (ETM).
Résumé: Dans cet article, nous nous intéressons à la question des fonctions réelles d’une variable réelle, du point de vue des espaces de travail mathématiques (ETM). Dans une première partie de l’étude, nous présentons les observations faites à différents niveaux d’enseignement, pouvant donner crédit à l’hypothèse que la connaissance de l’algèbre n’est pas suffisante pour les traitements qui mettent en jeu des fonctions, mais qu’il y a besoin d’une pensée que nous qualifions de fonctionnelle et que nous précisons dans une deuxième partie. Dans une troisième partie, nous présentons un atelier exploratoire organisé pour des enseignants de mathématiques du secondaire, avec l’objectif d’approfondir notre hypothèse. La spécificité de l’étude proposée était que les participants travaillaient en groupes, tous étudiant la même situation mathématique, mais chaque groupe à l’aide de son propre outil. Les groupes, caractérisés par les outils qu’ils ont utilisés, étaient les suivants. «A pied» (papier - crayon), tableur, calculatrice, logiciel de calcul symbolique, logiciel de géométrie. Les participants ont réalisé comment l’utilisation d’outils technologiques influe sur les processus de résolution et la gestion des concepts.
Mots clés: Activité mathématique, Raisonnement fonctionnel, Technologies de l’information et de la communication (TIC), Espace de Travail Mathématique (ETM).
Conjectures, postulates and experimental verifications in the geometer - physicist paradigm : How can the work with DGSs be integrated ?
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Résumé: Dans Tanguay et Geeraerts (2012), nous avons considéré le paradigme du géomètre - physicien, inspiré des travaux de Jahnke, et avons fait valoir comment il peut permettre la mise en place, en classe, de pratiques et activités assurant une transition plus harmonieuse entre la Géométrie I et la Géométrie II (Houdement & Kuzniak, 2006), notamment en changeant le statut des axiomes et le rôle de la mesure. Une mise en oeuvre concrète est proposée, grâce entre autres à un système structuré de fiches construites par la classe, celui-ci étant intégré à un espace de travail adapté à la démonstration. La façon d’y réhabiliter le mesurage dans les processus de validation permet de reconsidérer les enjeux de vérité pour leur intégrer, de manière explicite et problématisée, les questions de la fiabilité de la mesure, de l’exactitude par rapport à l’approximation, du théorique vis-à-vis l’empirique. Nous nous interrogeons sur la façon de prendre pleinement ces aspects en compte, en abordant explicitement en classe le problème de l’exactitude de la représentation graphique et des mesures fournies par les logiciels.
Mots clés: Mesures exactes et approximatives, Logiciels de géométrie dynamique, Géométrie du physicien, Démonstration, Empirisme, Conjecture, Postulat.
Reçu: 28 Janvier 2013
Accepté: 15 Décembre 2013
Resumen: Bajo la influencia de las investigaciones de Jahnke, consideramos en Tanguay y Geeraerts (2012) el paradigma del geómetra - físico, y mostramos la manera en que éste permite establecer prácticas y actividades de clase favoreciendo una transición armoniosa entre la Geometría I y la Geometría II (Houdement & Kuzniak, 2006), particularmente al cambiar el estatus de los axiomas y el rol de las medidas. Se propone un plan de acción concreto, gracias a un sistema estructurado de fichas elaboradas por los alumnos, esto habiendo integrado un espacio de trabajo adaptado para la demostración. La manera en que la medición se rehabilita en los procesos de validación permite reconsiderar, según modalidades explícitas y problematizadas, las cuestiones de verdad sobre la fiabilidad de las medidas, sobre la exactitud en relación a la aproximación, sobre lo ‘teórico’ frente a lo ‘empírico’. Nos cuestionamos sobre la manera de tomar en cuenta plenamente estos aspectos y al mismo tiempo abordamos explícitamente en clase el problema de la exactitud de la representación gráfica y de las mediciones proporcionadas por los programas informáticos.
Palabras clave: Medidas exactas y medidas aproximadas, Programas de geometría dinámica, Paradigma del geómetra - físico, Demostración, Proceso empírico, Conjetura, Postulado.
Abstract: Inspired by the work of Jahnke, we considered in Tanguay & Geeraerts (2012) the geometer - physicist paradigm, and expounded how it can be used to promote classroom practices and activities allowing a more harmonious transition between GI and GII (Houdement & Kuzniak, 2006), especially by reconsidering the status of the axioms and the role of measurement. A concrete plan of action is presented, by virtue of, among others, a structured system of study cards made by the class; all this integrated in a working space customized for the demonstration. The way measurement is rehabilitated as a validating process allows a reassessment of truth stakes so that the issues of measurement reliability, of exactness versus approximation, of theory versus empiricism are explicitly taken into account and ‘problematized’. We examine in what way this issue can be fully taken into consideration by the class. We propose that the problem of graphical precision linked to the exactness of measurement provided by DGSs should be explicitly tackled.
Keywords: Exact and approximate measurements, Dynamic geometry software packages, Geometer - physicist paradigm, Formal proof, Empiricism, Conjecture, Postulate.
Resumo: Em Tanguay e Geeraerts (2012) considerámos o paradigma do físico agrimensor, inspirados na obra de Jahnke, e argumentámos que esse paradigma pode permitir a implementação, de sala de aula, de práticas e de actividades garantindo uma transição suave entre Geometria I e Geometria II (Houdement & Kuzniak, 2006), em particular alterando o estatuto de axiomas e o papel da medida. Uma implementação concreta é proposta, através de um sistema estruturado de fichas construídas pela classe, sistema esse integrado a um espaço de trabalho adaptado à demonstração. A maneira de reabilitar a medição nos processos de validação permite reconsiderar as questões da verdade para aí integrar, duma forma explícita e problematizada, as questões de fiabilidade da medida, da exactidão comparada à aproximação, do teórico confrontado ao empírico. Interrogamo-nos sobre a maneira de tomar em consideração estes aspectos, e abordamos explicitamente, na sala de aula, o problema da precisão dos gráficos e das medidas fornecidas pelo software.
Palavras-chave: Medidas exactas e aproximadas, Software de geometria dinâmica, Geometria do físico agrimensor, Demonstração, Empirismo, Conjectura, Postulado.
Geogebratutor conception and analysis, an intelligent tutorial system: suitable geometrical working space genesis
Disponible en: I I I
Résumé: Cette contribution montre l’éclairage apporté par le modèle des espaces de travail géométrique (ETG) dans la conception et la validation du système tutoriel intelligent geogebraTUTOR (GGBT). Conçu pour être employé par des élèves de l’école secondaire, ce système se destine au développement de la pensée géométrique dans un contexte de résolution de problèmes de preuve en géométrie euclidienne. Le texte présente d’abord les fondements théoriques qui sous - tendent le développement de GGBT, au sein duquel les ETG agissent en tant que carrefour conceptuel. Au coeur de notre propos, la validation d’une version perfectionnée de GGBT s’effectue en vérifiant l’idonéité de l’espace de travail engendré par l’usage du système tutoriel. Cette phase de vérification, qui s’inscrit dans une suite de phases de recherche et de développement, a pour objectif l’observation et l’analyse du travail de l’élève en tant que géomètre en formation. Les résultats expérimentaux proviennent d’élèves québécois au 2e cycle de l’école secondaire (étape 14-17 ans).
Mots clés: Espaces de Travail Géométrique, Système tutoriel intelligent, Didactique des mathématiques, Problèmes de preuve, Géométrie dynamique, Interactions cognitives sujet - milieu.
Geogebratutor conception and analysis, an intelligent tutorial system: Suitable geometrical working space genesis
Département de génie informatique et génie logiciel, École Polytechnique de Montréal, Canadá
Reçu: 19 Janvier 2013
Accepté: 25 Novembre 2013
Resumen: Esta colaboración muestra el enfoque ofrecido por el modelo de espacios de trabajo geométrico (ETG) en la concepción y validación del sistema tutorial inteligente geogebraTUTOR (GGBT). Concebido para ser empleado por alumnos de educación secundaria, este sistema está destinado al desarrollo del pensamiento geométrico en un contexto de resolución de problemas de prueba en geometría euclidiana. El texto presenta en un principio los fundamentos teóricos que sostienen el desarrollo de GGBT, dentro del cual los ETG actúan como encrucijada conceptual. En medio de nuestra propuesta, la evaluación de una versión perfeccionada de GGBT se lleva a cabo mientras de comprueba la idoneidad del espacio de trabajo creado por el empleo del sistema tutorial. Esta fase de evaluación, que se inserta en una serie de fases de investigación y desarrollo, tiene por objetivo la observación y análisis del trabajo del alumno como geómetra en formación. Los resultados experimentales provienen de alumnos quebequenses de 2º grado de escuela secundaria (etapa de los 14-17 años).
Palabras clave: Espacios de Trabajo Geométrico, Sistema tutorial inteligente, Matemática Educativa, Problemas de prueba, Geometría dinámica, Interacciones cognitivas sujeto - medio.
Abstract: This collaboration shows the enlightenment offered by the geometrical working spaces (GWS’s) model in the conception and validation of the intelligent tutorial system geogebraTUTOR (GGBT). Conceived to be used by high school students, this system is designed for the development of geometrical thought in a context issuing trial problem solving in Euclidian geometry. The paper presents initially the theoretical foundations that support he GGBT development, where the GWS’s act as a conceptual carrefour. At the very heart of our proposal, the validation of an improved GGBT version is carried out verifying the suitableness of the working space generated by the use of the tutorial system. This validation phase, inserted on a series of investigation and development stages, aims to the observation and analysis of the student’s work as a geometer in training. The experimental results come from Quebecois students undergoing the 2 grade of high school (between 14 and 17 years).
Keywords: Geometrical Working Spaces, Intelligent tutorial system, Didactics of mathematics, Geometric proof problems, Dynamic geometry, Student – milieu cognitive interactions.
Resumo: Essa contribuição mostra como o modelo dos espaços de trabalho geométrico (ETG) ajuda na concepção e na validação do sistema tutorial inteligente geogebraTUTOR (GGBT). Concebido para ser usado pelos alunos na escola secundária, esse sistema está destinado para o desenvolvimento do pensamento geométrico num contexto de resolução de problema de prova em geometria euclidiana. Primeiramente, este artigo apresenta os fundamentos teóricos que sustentam o desenvolvimento de GGBT, no qual os ETG agem como encruzilhada conceitual. O núcleo de nossa proposta é a validação de uma versão melhorada de GGBT, realizada pela verificação da idoneidade do espaço de trabalho gerado pelo uso do sistema tutorial. Essa fase de verificação, que faz parte de uma série de fases de pesquisa e desenvolvimento, tem por objetivo a observação e a análise do trabalho do aluno como geômetra em formação. Os resultados experimentais são obtidos de alunos quebequenses do segundo ciclo da escola secundária (etapa 14-17 anos).
Palavras-chave: Espaços de Trabalho Geométrico, Sistema tutorial inteligente, Didática das matemáticas, Problemas de prova, Geometria dinâmica, Interações cognitivas sujeito - meio.
The mathematical work in interaction with a tridimensional dynamic geometry software
Disponible en: I I I
Résumé: Il arrive souvent que les didacticiels pour l’enseignement des mathématiques se constituent en référence à des modèles informatiques, laissant implicites les modèles d’apprentissage qui découlent de l’usage de l’outil et qui auraient pu contribuer à sa conception. Dans le jeu des allers et retours entre les concepteurs et les usagers, si les nouvelles possibilités de développement communautaire facilitent déjà le raffinement de l’outil logiciel selon les demandes enseignantes, il favorise aussi l’appropriation au comportement humain qui utilise déjà l’outil. Ce n’est donc pas tant dans les mathématiques représentées qu’il faut chercher les modèles d’apprentissage, mais plutôt en regardant les interactions de celui dont l’action «interroge» un milieu logiciel qui lui «répond». En considérant les conceptions de l’élève et l’espace de travail mathématique qui émergent d’interactions réelles ou potentielles, notre propos vise à rendre compte du travail mathématique engendré par l’usage du logiciel de géométrie dynamique tridimensionnelle GeoGebra 3D.
Mots clés: Didactique des Mathématiques, Modélisation instrumentée, Représentation, Conception, Espace de Travail Géométrique, Géométrie dynamique tridimensionnelle.
The mathematical work in interaction with a tridimensional dynamic geometry software
Reçu: 21 Janvier 2013
Accepté: 15 Décembre 2013
Resumen: Los tutoriales para enseñar matemáticas se suelen referir a modelos informáticos, dejando implícitos los modelos de aprendizaje que derivan del uso de la herramienta y que hubieran podido contribuir a su diseño. En el juego de ida y vuelta entre diseñadores y usuarios, si las nuevas posibilidades de desarrollo comunitario pueden facilitar el perfeccionamiento de la herramienta informática en función de las exigencias docentes, favorece también la apropiación al comportamiento humano que utiliza ya la herramienta. No es tanto en las matemáticas representadas donde hace falta buscar modelos de aprendizaje, sino más bien en las interacciones del usuario cuya acción «interroga» un medio informático que le «responde». Considerando las concepciones del alumno y el espacio de trabajo matemático que emergen de las interacciones reales o potenciales, nuestro propósito tiene como objetivo dar cuenta del trabajo matemático que genera el uso del software de geometría dinámica tridimensional GeoGebra 3D.
Palabras clave: Matemática Educativa, Modelización instrumentada, Representación, Concepción, Espacio de Trabajo Geométrico, Geometría dinámica tridimensional.
Abstract: It often happens that software for teaching mathematics is built on data - processing models, leaving implicit the learning models that arise from the usage of the tool and that could have helped to its conception. In the back and forth game between designers and users, if the new possibilities of joint development enable the software refinement according to educational needs, it promotes as well the adaptation to human behavior already used by the tool. It is not so much in represented mathematics where we should search for learning models, but it is by turning to the interactions of the one which actions “question” software medium that “answers back”. Considering student’s conceptions and the mathematical working space that emerge from real or potential interactions, our purpose aims to put on display the mathematical work generated by the use of the tridimensional dynamic geometry software GeoGebra 3D.
Keywords: Didactics of Mathematics, Instrumented modeling, Representation, Conception, Geometrical Working Space, Tridimensional dynamic geometry.
Resumo: Os tutoriais para ensinar matemática referem-se frequentemente a modelos informáticos, deixando implícitos os modelos de aprendizagem decorrentes da utilização da ferramenta e que poderiam ter contribuído para o seu design. Nas discussões entre designers e utilizadores, se as novas possibilidades de desenvolvimento comunitário podem facilitar o desenvolvimento da ferramenta de software com base em requisitos de ensino, também favorecem a apropriação do comportamento humano que já utiliza essa mesma ferramenta. Não são portanto as matemáticas representadas que poderão dar indicações sobre a origem dos modelos de aprendizagem, mas sobretudo as inteirações observadas: o utilizador, que «interroga» pela sua ação um software que lhe «responde». Tendo em conta as concepções dos alunos e o espaço de trabalho matemático decorrente de inteirações reais ou potenciais, o nosso propósito é destinado a explicitar o trabalho matemático gerado pelo uso de software de geometria dinâmica tridimensional GeoGebra 3D.
Palavras-chave: Didática das Matemáticas, Modelização instrumentada, Representação, Concepção, Espaço de Trabalho Geométrico, Geometria dinâmica tridimensional.
To Initiate a Mathematical Proof Process in an 3D Dynamic Geometry Environment
Disponible en: I I I
Résumé: Cette contribution s’inscrit dans le thème : « Le travail mathématique et les aspects sociaux et institutionnels ». Nous avons ici souhaité interroger comment, dans le contexte d’une activité de construction géométrique, l’emploi de preuve intellectuelle peut se trouver justifié et de quelle manière il contribue à inscrire de manière stable l’activité des élèves dans une géométrie axiomatique naturelle. Dans notre travail de thèse nous avions montré que des situations construites dans un environnement de géométrie dynamique 3D pouvaient conduire les élèves à s’appuyer sur ce type de géométrie. En revanche, cette évolution s’avérait généralement instable, et nous proposons ici d’interroger en quoi les interactions sociales, et notamment via la genèse discursive, jouent un rôle fondamental quant à cette stabilité. La question de la preuve se trouve au cœur de cette problématique, puisqu’elle semble en réalité consubstantielle du passage d’une géométrie GI assumée à une géométrie GII morcelée. Nous proposons ici d’analyser le travail de trois groupes d’élèves, tiré d’une expérimentation de thèse (Mithalal, 2010), afin de mettre en lumière les interactions entre l’activité matérielle et la genèse discursive dans les espaces de travail géométrique.
Mots clés: Environnement de géométrie dynamique 3D, Genèse discursive, Preuve, Espaces de Travail Géométrique.
To initiate a mathematical proof process in an 3D dynamic geometry environment
Reçu: 28 Janvier 2013
Accepté: 29 Août 2013
Resumen: Esta colaboración se inserta en el tema: «El trabajo matemático y los aspectos sociales e institucionales». Hemos querido examinar aquí cómo, en el contexto de una actividad de construcción geométrica, el empleo de una demostración intelectual puede encontrarse justificado y de qué manera éste contribuye a insertar de manera estable la actividad de los alumnos en una geometría axiomática natural. En nuestro trabajo de tesis habíamos mostrado que situaciones construidas en un ambiente de geometría dinámica 3D podían llevar a los alumnos a apoyarse en este tipo de geometría. En cambio, esta evolución mostraba ser generalmente inestable, y se propone aquí investigar en qué las interacciones sociales, y en especial vía la génesis discursiva, juegan un papel fundamental en lo que se refiere a esta estabilidad. La cuestión de la demostración se encuentra justo en el centro de esta problemática, ya que parece en verdad consubstancial del paso de una geometría GI asumida a una geometría GII fragmentada. Aquí proponemos analizar el trabajo de tres grupos de alumnos, inspirado en un experimento de tesis (Mithalal, 2010), con el fin de develar las interacciones entre la actividad material y la génesis discursiva en los espacios de trabajo geométrico.
Palabras clave: Ambiente de geometría dinámica 3D, Génesis discursiva, Demostración, Espacios de Trabajo Geométrico.
Abstract: This paper concerns the topic: “The mathematical work and the social and institutional aspects.” We have attempted to analyze how, in a geometrical construction activity context, the use of intellectual proof can be justified and which way it contributes to stably insert the students’ activity in a natural geometrical axiom. In our thesis project we have shown that situations built on a 3D dynamic geometrical environment can lead the students to rely on this type of geometry. Nonetheless, this evolution would proof itself unstable, and we propose here to examine where the social interactions, and especially via discursive genesis, play a fundamental role in terms of this stability. The proof issue is central to this concern, as it seems to be consubstantial with the transition of assumed Geometry GI to parceled Geometry GII. We propose to analyze the work of three groups of students, inspired on a thesis experiment (Mithalal, 2010), with the purpose of highlighting the interactions between the material activity and the discursive genesis in the geometrical working spaces.
Keywords: 3D dynamic geometrical environment, Discursive genesis, Proof, Geometrical Working Spaces.
Resumo: Esta colaboração se insere no tema: «O trabalho matemático e os aspectos sociais e institucionais». Quisemos examinar aqui como, no contexto de uma atividade de construção geométrica, o uso de uma demonstração intelectual pode ser justificada e de que maneira isso contribui na inserção, de maneira estável, da atividade dos alunos em uma geometria axiomática natural. Em nosso trabalho de tese, tínhamos mostrado que situações construídas em um ambiente geométrico dinâmico 3D podiam levar os alunos a se apoiarem neste tipo de geometria. Por outro lado, esta evolução mostrava ser geralmente instável, e por isso nos propomos aqui pesquisar como as interações sociais, e em especial através da gênese discursiva, possuem um papel fundamental no que se refere a essa estabilidade. A questão da demonstração se encontra bem no centro desta problemática, pois parece na verdade consubstancial a passagem de uma geometria GI assumida a uma geometria GII fragmentada. Aqui propomos analisar o trabalho de três grupos de alunos, inspirado em um experimento de tese (Mithalal, 2010), com a finalidade de mostrar as interações entre a atividade material e a gênese discursiva nos espaços de trabalho geométrico.
Palavras-chave: Ambiente geométrico dinâmico 3D, Gênese discursiva, Demonstração, Espaços de Trabalho Geométrico.
Actividades sobre Lugares Geométricos desarrolladas en un sistema de geometría dinámica. Visualización no icónica y génesis instrumental
Disponible en: I I I
Abstract: This paper presents a study on the use of geometric locus using a dynamic geometry system (GeoGebra) in order to pass from Geometry II (a natural proto - axiomatic Geometry) to Geometry III (a complete axiomatic Geometry). The research was conducted with 30 Spanish college prospective mathematics teachers. The Geometrical Working Space theory (GWS) was used as a theoretical framework to describe the figurative and instrumental genesis processes involved in the learning processes in computer environments. To study these two geneses, iconic visualization versus non - iconic visualization, along with instrumental and dimensional deconstruction concepts, was used. The authors identify typologies of images and visualization uses.
Keywords: Problem - solving strategies, Visualization, Interactive learning, Diagrams, Loci, Teacher training, Visual representations, Reasoning, Geometry, GeoGebra.
Received: 16 January 2013
Accepted: 25 November 2013
Funding
Funding source: ACEIA (Computer Algebra and Artificial Intelligence) of UCM
Contract number: 910563
Contract number: PIMCD-239-2011
Resumen: En este artículo se presenta un estudio sobre la utilización del concepto de Lugar Geométrico en un sistema de geometría dinámica (GeoGebra) en la transición de la Geometría II (geometría proto - axiomática natural) a la Geometría III (geometría completamente axiomática). La investigación se lleva a cabo con 30 estudiantes de matemáticas, futuros profesores, en la universidad española. Se utiliza la teoría de Espacio de Trabajo Geométrico (ETG) como marco teórico de referencia para describir las génesis figurativas e instrumentales involucradas en los procesos de aprendizaje en entornos informáticos. Para el estudio de estas dos génesis se utiliza los conceptos de visualización icónica versus visualización no - icónica, junto a los conceptos de deconstrucción instrumental y dimensional. Los autores identifican tipologías de imágenes y usos de visualización.
Palabras clave: Estrategias de resolución de problemas, Visualización, Aprendizaje interactivo, Diagramas, Lugares geométricos, Formación del profesorado, Representaciones visuales, Razonamiento, Geometría, GeoGebra.
Resumo: Neste artigo apresenta-se um estudo sobre o uso de Lugar Geométrico (Locus) usando um sistema de geometria dinâmica (GeoGebra) na passagem de uma Geometria II (proto - axiomática natural) para uma Geometria III (completamente axiomática). A investigação foi realizada com 30 estudantes universitários espanhóis, futuros professores de Matemática. Foi usada a teoria do Espaço de Trabalho Geométrico (ETG) (Space for a Geometric Work, SGW) como marco teórico de referência para descrever as géneses figurativas e instrumentais envolvidas nos processos de aprendizagem em ambientes computacionais. Para estudar estas duas géneses foi usada a visualização icónica vs. a visualização não - icónica juntamente com os conceitos de desconstrução instrumental e dimensional. Os autores identificam tipologias de imagens e usos de visualização.
Palavras-chave: Estratégias de resolução de problemas, Visualização, Aprendizagem interativa, Diagramas, Lugares geométricos (Locus), Formação de professores, Representações visuais, Raciocínio, Geometria, GeoGebra.
Résumé: Cet article est centré sur l’étude de l’utilisation de la notion Lieu Géométrique dans un système de géométrie dynamique (GeoGebra) afin de passer de la Géométrie II (géométrie proto - axiomatique naturelle) à la Géométrie III (géométrie axiomatique). Notre recherche concerne un groupe de trente étudiants de licence de mathématiques, futurs enseignants, à l’Université espagnole. Nous appuierons notamment notre analyse sur la notion d’Espace de Travail Géométrique (ETG) et comment les genèses figuratives et instrumentales sont impliqués dans le processus d’apprentissage dans un environnement informatique. Pour étudier ces deux genèses on utilise la visualisation iconique contre visualisation non - iconique joint à la déconstruction instrumentale et dimensionnelle. Les auteurs identifient typologies d’images et usages de la visualisation.
Mots clés: Stratégies de résolution de problèmes, Visualisation, Activité d’apprentissage interactif, Diagrammes, Lieu Géométrique, Formation des enseignants, Représentations visuelles, Raisonnement, Géométrie, GeoGebra.
Trabajo matemático y dominios matemáticos
Disponible en: I I I
Résumé: Dans le cadre théorique des Espaces de Travail Géométrique (ETG), la différenciation des approches de la géométrie s'appuie sur la notion de paradigmes géométriques. Grâce à cette notion, il est possible de pointer des différences épistémologiques dans les approches de la preuve mais aussi de comprendre et d'expliquer des variations dans les genèses instrumentales et figurales. L'extension du cadre théorique des ETG aux Espaces de Travail Mathématique attire l'attention sur l'usage simultané de plusieurs domaines mathématiques dans le travail mathématique. Nous examine rons deux problèmes s'appuyant initialement sur un support géométrique mais dont la solution peut être donnée dans un autre domaine mathématique qui, d'un point de vue scolaire, ne se situe pas alors nécessairement ni au même niveau paradigmatique ni au même niveau d'élaboration didactique ou pédagogique. Ces différences de niveaux peuvent être source de malentendus et de dysfonctionnements dans la pratique scolaire.
Mots clés: Démarche de découverte, Domaine mathématique, Espace de Travail Mathématique, Modélisation, Validation.
Travail mathématique et domaines mathématiques
Reçu: 16 Janvier 2013
Accepté: 15 Décembre 2013
Resumen: En el marco teórico de los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG), la diferenciación entre los enfoques de la geometría se basa en la noción de paradigmas geométricos. Gracias a esta noción, es posible señalar diferencias epistemológicas en los enfoques de la prueba, pero también, comprender y explicar variaciones en las génesis instrumentales y figurales. La extensión del marco teórico de los ETG a los Espacios de Trabajo Matemático llama la atención sobre el uso simultáneo de varios dominios matemáticos en el trabajo matemático. Examinaremos dos problemas basados inicialmente en un soporte geométrico pero cuya solución puede darse en algún otro dominio matemático que, desde un punto de vista escolar, entonces no se sitúa precisamente ni al mismo nivel paradigmático ni al mismo nivel de elaboración didáctica o pedagógica. Estas diferencias de niveles pueden ser fuente de malentendidos y disfunciones en la práctica escolar.
Palabras clave: Proceso de descubrimiento, Dominio matemático, Espacio de Trabajo Matemático, Modelización, Validación.
Abstract: In the Geometrical Working Space (GWS) theoretical framework, the differentiation of geometrical approaches is based on the geometrical paradigms notion. Due to this notion, it is possible not only to point out the epistemological differences in the test approaches, but also to understand and explain variations in the instrumental and figural geneses. The extension of the GWS’s theoretical framework to the Mathematical Working Spaces draws attention on the simultaneous use of several domains of mathematics in the mathematical work. We analyze the problems initially lying on a geometrical support, but which solution can be expressed in another mathematical domain that, form a educational point of view, is not, thus, necessarily situated neither to the same paradigmatic level, nor to the same didactical or pedagogical level of elaboration. These differences in level can be source of misunderstandings and dysfunction in the academic practice.
Keywords: Discovery process, Mathematical domain, Mathematical Working Space, Modeling, Validation.
Resumo: No quadro teórico dos Espaços de Trabalho Geométrico (ETG), a diferenciação das abordagens da geometria baseia-se na noção de paradigmas geométricos. Com esta noção, é possível identificar as diferenças epistemológicas na abordagem da prova mas também compreender e explicar as variações nas géneses instrumentais e figurais. A ampliação do quadro teórico dos ETG ao Espaço de Trabalho Matemático chama a atenção para o uso simultâneo de vários domínios matemáticos no trabalho matemático. Discutiremos dois problemas descritos inicialmente através dum suporte geométrico, mas cuja solução pode ser dada noutro domínio matemático. De um ponto de vista educacional, o novo domínio não está necessariamente no mesmo nível paradigmático nem no mesmo nível de desenvolvimento educacional ou pedagógico. Estas diferenças de níveis podem ser uma fonte de mal-entendidos e de falhas na prática escolar.
Palavras-chave: Processo de descoberta, Domínio matemático, Espaço de Trabalho Matemático, Modelização, Validação.
Working / knowledge spaces: Can a shuttle to travel there be imagined?
Disponible en: I I I
Résumé: Ce texte vise à tester la possibilité d’appréhender le phénomène de non - usage de savoirs sus, mis en évidence et étudié par la didactique du sens commun, à partir de la notion d’espaces de travail. Il examine l’hypothèse selon laquelle ce phénomène pourrait être lié au fait qu’un même problème peut être abordé depuis des postures ou des espaces de travail différents, et donc avec des connaissances et des savoirs différents. Admettant cette hypothèse, serait-il possible d’entraîner les élèves à changer volontairement de posture pour se donner accès à différentes visions du problème et, ce faisant, à de nouvelles réponses ?
Mots clés: Didactique du sens commun, Didactique des Mathématiques, Posture, Espace de travail, Espace de connaissances.
Working/knowledge spaces: Can a shuttle to travel there be imagined?
Reçu: 14 Janvier 2013
Accepté: 09 Septembre 2013
Resumen: Este texto pretende evaluar la posibilidad de aprehender el fenómeno de la falta de uso de los saberes adquiridos, manifiesto y estudiado por la didáctica del sentido común, a partir de la noción de espacios de trabajo. Examina la hipótesis según la cual este fenómeno podría estar relacionado al hecho de que un mismo problema puede abordarse desde posturas o espacios de trabajo diferentes, y, por lo tanto, con conocimientos y saberes diferentes. Admitida esta hipótesis, ¿sería posible llevar a los alumnos a cambiar voluntariamente de postura para permitirse acceso a diferentes visiones del problema y, de este modo, a nuevas respuestas?
Palabras clave: Didáctica del sentido común, Matemática Educativa, Postura, Espacio de trabajo, Espacio de conocimientos.
Abstract: This text aims at testing the possibility to conceive the phenomenon of non - usage of the learnt knowledge, exposed and studied by the didactic of common sense, starting from the working spaces notion. It examines the hypothesis according to which this phenomenon could be related to the fact that a same problem can be approached from different working postures and spaces, and thus, from different knowledge and educations. Admitting this hypothesis, would it be possible to guide the students toward a voluntary change in posture to grant access to different perspectives of the problem and, once there, to new responses?
Keywords: Didactics of common sense, Didactics of Mathematics, Posture, Working space, Knowledge space.
Resumo: Este texto pretende avaliar a possibilidade de apreender o fenômeno da falta de uso dos saberes adquiridos, manifestado e estudado pela didática do senso comum, a partir da noção de espaços de trabalho. Examina-se a hipótese segundo a qual este fenômeno poderia estar relacionado ao fato de que um mesmo problema pode ser abordado a partir de posturas ou espaços de trabalho diferentes, e, portanto, com conhecimentos e saberes diferentes. Admitida essa hipótese, seria possível levar os alunos a mudarem voluntariamente de postura, para se permitirem acesso a diferentes visões do problema e, deste modo, a novas respostas?
Palavras-chave: Didática do senso comum, Matemática Educativa, Postura, Espaço de trabalho, Espaço de conhecimentos.
The mathematical workspace and the specific situation of the functional mathematic: a dialogue exercise
Disponible en: I I I
Resumen: Investigaciones en Matemática Educativa resaltan aspectos de la naturaleza del conocimiento matemático y su aprendizaje, según la particularidad de su objeto de estudio. El interés es exponer una investigación socioepistemológica que considera que a través de la Situación Especifica es posible generar aprendizajes. Por ello se consideró realizar un ejercicio de diálogo entre el Espacio de Trabajo Matemático y de Situación Específica. La finalidad es reflexionar sus desarrollos en términos de sus funcionalidades a través de tres ejes de análisis: la concepción de sujeto que cada una manifiesta, el contenido matemático que se aprende y la consideración del proceso de aprendizaje. Ello nos permite establecer el diálogo entre las nociones mencionadas que, aunque tienen naturalezas diferentes, intentan caracterizar y analizar sistemáticamente la producción de los estudiantes e intervenir en el sistema didáctico.
Palabras clave: Matemática funcional, Resignificación, Situación específica, Espacio de Trabajo Matemático.
The mathematical workspace and the specific situation of the functional mathematic: A dialogue exercise
Recepción: 11 Enero 2013
Aprobación: 19 Diciembre 2013
Abstract: Research in Mathematics Education highlights aspects of the nature of mathematical knowledge and its learning, according to the peculiarity of its object of study. The interest is to explain a socioepistemologic research which considers that it is possible to create learning through Specific Situation. Because of that, conducting a conversation exercise between Mathematical Working Space and Specific Situation was considered. The purpose is to think about its developments in terms of its functionalities through three axes of analysis: the conception of subject which each one shows, the mathematical content which is learned and the consideration of learning process. That allows us to establish the conversation between the mentioned notions that, although they have different natures, they try to portray and analyze the production of students and intervene in the educational system.
Keywords: Functional mathematics, Resignification, Specific situation, Mathematical Working Space.
Resumo: Diversas pesquisas em Didática de Matemática ressaltam os aspectos da natureza do conhecimento matemático e sua aprendizagem, de acordo com a particularidade de seu objeto de estudo. Interessa-nos expor uma investigação sócioepistemológica considerando que através de uma situação específica é possível gerar aprendizagens. Para isto, faz-se necessário o exercício de um diálogo entre as noções de espaço de trabalho matemático e a situação específica com a finalidade de refletir sobre essas noções e seu desenvolvimento em termos de funcionalidades. Consideramos três domínios de análise: a concepção que o sujeito manifesta em ambas aproximações, sobre o conteúdo matemático da aprendizagem e sobre como consideram o que ocorre durante o processo de aprendizagem. Isso nos permite estabelecer um diálogo entre as noções mencionadas, mesmo que elas sejam de naturezas diferentes, na tentativa de caracterizar e analisar sistematicamente a produção dos estudantes e interferir no sistema didático.
Palavras-chave: Matemática funcional, Ressignificação, Situação específica, Espaço de Trabalho Matemático.
Résumé: Des recherches en Didactique des mathématiques mettent en valeur des aspects à propos de la nature des connaissances mathématiques et leur apprentissage, selon la particularité de son objet d’étude. Nous présentons ici une recherche socioépistémologique montrant qu’il est possible promouvoir des apprentissages à partir d’une situation spécifique. Pour cette raison on a considéré faire dialoguer les notions Espace de Travail Mathématique et Situation Spécifique. L’objectif est de réfléchir sur leurs développements en termes de leurs fonctionnalités d’après trois axes d’analyse: la conception du sujet manifestée par chacune d’elles, le contenu mathématique qu’on peut apprendre et les considérations sur le processus d’apprentissage. Cela nous permet d’établir un dialogue entre les notions mentionnées car, même ayant des natures différentes, elles essaient de caractériser et d’analyser systématiquement la production des élèves et d’influer sur le système éducatif.
Mots clés: Analyse fonctionnelle, Resignification, Situation spécifique, Espace de Travail Mathématique.
The teacher as a mediator and the mathematical working spaces
Disponible en: I I I
Resumen: El maestro pone en juego estrategias para facilitar que los alumnos aprendan matemáticas. Como resultado de varios acercamientos a clases de matemáticas de maestros de educación básica, en este artículo se caracterizan cinco dificultades que el profesor enfrenta para mediar una concurrencia significativa entre los Espacios de Trabajo Matemático institucionales e individuales.
Palabras clave: Educación básica, Mediación docente, ETM.
The teacher as a mediator and the mathematical working spaces
Recepción: 15 Enero 2013
Aprobación: 02 Septiembre 2013
Abstract: The teacher brings into play strategies to facilitate his students to learn mathematics. As a result of several approaches to mathematics classes taught of basic education teachers, in this article, five difficulties that the teacher confronts to mediate a significant audience between institutional and individual Mathematical Work Spaces are portrayed.
Keywords: Basic education, Mediation, MWS.
Resumo: O professor envolve estratégias para promover a aprendizagem da matemática pelos alunos. Após várias abordagens de matemática aulas conduzidas por professores de educação básica, neste artigo são caracterizados cinco dificuldades enfrentadas pelo professor para mediar uma concordância significativa entre ETM institucionais e individuais.
Palavras-chave: Educação básica, Mediação, ETM.
Résumé: L’enseignant met en jeu des stratégies pour promouvoir l’apprentissage des mathématiques par ses élèves. À la suite de plusieurs approches aux classes de mathématiques menées par des professeurs de l’école primaire, cet article caractérise cinq difficultés rencontrées par l’enseignant en tant que médiateur pour combiner les ETM institutionnels et individuels.
Mots clés: Enseignement de base, Médiation, ETM.
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es la publicación de investigación oficial del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C. Editada por el Colegio Mexicano de Matemática Educativa, A.C., en Av. Instituto Politécnico Nacional # 2508, Col. San Pedro Zacatenco, Delegación Gustavo A. Madero, C.P. 07360. Reservas de Derechos al Uso Exclusivo, No. 04-2016-110914351000-102, con ISSN: 1665-2436, para el formato impreso; y No. 04-2016-110413025500-203, con e-ISSN: 2007-6819, para el formato digital; otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Derechos Reservados © Colegio Mexicano de Matemática Educativa, A.C. RFC: CMM 040 505 IC7. Publicación cuatrimestral. Se publica en los meses de marzo, julio y noviembre, con el financiamiento del Clame.
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