A Mathematical Work Space for the Explanation of the Geometrical Meanings of Multiplication of real and complex numbers: Semiotic Mediation and Students’ Chosen Paths
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Résumé: Ce travail contribue, d’une part, à déterminer les implications didactiques d’une analyse des travaux épistémologiques portant sur la mise en relation entre nombres, calcul et géométrie et, d’autre part, à constituer un cadre théorique favorisant l’analyse du travail mathématique des élèves lors de la rencontre entre un objet mathématique et son sens en géométrie. Notre articulation théorique porte principalement sur l’Espace de Travail Mathématique et la médiation sémiotique. La méthode d’analyse sera esquissée pour finalement présenter une partie de nos résultats de recherche. Ces résultats portent sur la détermination de parcours d’individus résultant des interactions produites entre les différents plans d’un Espace de Travail Mathématique. Les productions des élèves rendent compte des obstacles ainsi que des indices leur permettant de mettre en lien la multiplication et certaines de ses significations géométriques.
Mots clés: Espace de Travail Mathématique, Médiation sémiotique, Registres de représentation, Parcours des élèves, Produit de nombres réels et complexes, Signe - artefact.
Reçu: 24 Janvier 2013
Accepté: 14 Décembre 2013
Resumen: Este trabajo contribuye, por un lado, a determinar las implicaciones didácticas de un análisis de trabajos epistemológicos que relacionan números, cálculo y geometría y, por otro lado, a constituir un marco teórico que favorece el análisis del trabajo matemático de los alumnos en el proceso de encuentro entre un objeto matemático y la construcción de su sentido en geometría. El marco teórico consiste en una articulación de elementos asociados al Espacio de Trabajo Matemático y a la mediación semiótica. El método de análisis será bosquejado para presentar finalmente una parte de nuestros resultados de la investigación. Estos resultados corresponden a la determinación de trayectorias de individuos, las cuales resultan de diversas interacciones producidas entre los diferentes planos del Espacio de Trabajo Matemático. Las producciones de los alumnos dan cuenta tanto de los obstáculos como de los inicios que les permitieron relacionar la multiplicación y algunas de sus significaciones geométricas.
Palabras clave: Espacio de Trabajo Matemático, Mediación semiótica, Registros de representación, Trayectorias de los alumnos, Producto de números reales y complejos, Signo - artefacto.
Abstract: This work contributes, on one hand, to determine the didactical implications of an analysis of epistemological works on the association of numbers, calculus and geometry, and, on the other hand, to constitute a theoretical framework favoring the analysis of students’ mathematical work at the meeting point between a mathematical object and its sense in geometry. Our theoretical framework concerns mostly the Mathematical Working Space and the semiotic mediation. The analysis method will be sketched to ultimately present a part of our research results. These results relate to the determination of a personal path resulting from interactions produced among the diverse Mathematical Working Space dimensions. Their produced results draw attention to the obstacles and cues allowing the association of multiplication to certain geometrical significations.
Keywords: Mathematical Working Space, Semiotic mediation, Representation records, Students’ personal paths, Product of real and complex numbers, Sign - artifact.
Resumo: Este trabalho contribui tanto para a determinação das implicações didáticas de uma análise de trabalhos epistemológicos sobre a ligação entre números, cálculo e geometria, quanto para o estabelecimento de um arcabouço teórico que favoreça a análise do trabalho matemático dos alunos, no encontro entre um objeto matemático e seu sentido na geometria. Nossa articulação teórica aborda principalmente o Espaço de Trabalho Matemático e a mediação semiótica. O método de análise será esboçado para apresentar uma parte de nossos resultados de pesquisa. Esses resultados abordarão a determinação das trajetórias individuais, resultantes das interações produzidas entre os diferentes planos de um Espaço de Trabalho Matemático. As produções dos alunos levam em conta tanto os obstáculos quanto os indícios que lhes permitam de relacionar a multiplicação a algumas de suas significações geométricas.
Palavras-chave: Espaço de trabalho matemático, Mediação semiótica, Registros de representação, Trajetória dos alunos, Produto dos números reais e complexos, Signo - artefato.
