Número 11-1 (Marzo)

Vicente   Aboites  abortes@yahoo.co.uk
Centro de Investigación en Matemáticas, Guanajuato, Gto., México  
Gilberto Aboites g_aboites@yahoo.com.mx
Universidad Autónoma de Coahuila, México

Recepción: Marzo 28, 2007
Aceptación: Febrero 25, 2008

Abstract: This work presents the experience of teaching the philosophy of mathematics to high school students (Mexican nivel medio superior). The problems they face are discussed and the content of the program followed is analyzed. The conclusion is drawn that the teaching of the philosophy of mathematics in high school is a way to simultaneously stimulate philosophical and scientific thought in students. In particular, the discussion on why mathematics is applicable to the world awakened enormous interest and it should be emphasized in similar courses. Due to the high level of student motivation observed during these courses it can be concluded that these topics should be included in traditional philosophy and/or mathematics programs.
Keywords: Foundations of mathematics, philosophy of mathematics, pedagogy of mathematics.

Résumé: Dans ce travail, nous présentons une expérience d'enseignement de la philosophie des mathématiques au niveau pré-universitaire. Nous exposons les problèmes abordés et analysons le contenu du programme utilisé. Nous considérons que l'enseignement de la philosophie des mathématiques au niveau pré-universitaire permet de stimuler à la fois la pensée philosophique et scientifique chez l'étudiant. Particulièrement, nous remarquons que le problème de l'application des mathématiques au monde réel a généré un grand intérêt et devrait, selon nous, s'incorporer dans des enseignements similaires. Puisque la motivation des étudiants pendant ces enseignements a été remarquable, il est possible d'inclure ces sujets dans les programmes traditionnels de philosophie et/ou mathématiques.
Mots clés: Fondements de la mathématique, philosophie des mathématiques, pédagogie de la mathématique.

Resumo: Este trabalho expõe uma experiência de ensinar filosofia da matemática a estudantes do nível médio. Se discute os problemas enfrentados e se analisa o conteúdo do programa utilizado. Se conclue que o ensino de filosofia da matemática no nível médio é uma forma de estimular no estudante simultaneamente o pensamento filosófico e científico. Em particular a discussão de por que a matemática é aplicável ao mundo desperta um enorme interesse e deveria ser enfatizada em cursos similares. Devido a notável motivação observada nos estudantes durante o curso, se conclui que é conveniente incluir estes temas nos programas tradicionais de filosofia e/ou matemática.
Palavras-chave: Fundamentos da matemática, filosofia da matemática, pedagogia da matemática.

María Aravena maravena@ucm.cl
Instituto de Ciencias Básicas, Departamento de Matemática,  Universidad Católica del  Maule, Talca, Chile
Carlos Caamaño ccaamano@ucm.cl
Instituto de Ciencias Básicas, Departamento de Matemática,  Universidad Católica del  Maule, Talca, Chile
Joaquín  Giménez quimgimenez@ub.edu
Dept. Didactica  de  les  Ciències  Experim.i  Matem,  Facultat  de  Formació  del  Professorat, Universidad de Barcelona. España

Recepción: Enero 23, 2007
Aceptación: Febrero 26, 2008

Abstract: In this research we analyze the mathematical production of a group of secondary students when faced with the task of projects based on the modelization of situations. In the development and implementation of the didactic proposal several studies were considered that illustrated the benefits of introducing this type of work into the classroom as much to overcome obstacles and difficulties as to develop mathematical skills. In order to analyze students' production, the object of this case study, categories were designed to enable the evaluation of this methodology. On a results level, there is a manifest development of cognitive and metacognitive capacities and of transversal formation, in addition to an efficient performance in the utilization of concepts and mathematical processes.
Keywords: Mathematical models, modelization processes, models and projects, secondary education.

Résumé: Cette recherche analyse la production mathématique d'un groupe d'étudiants du Collège, lorsqu'ils réalisent des projets portant sur la modélisation des situations. Pour l'élaboration et l'implémentation du choix didactique, on a considéré diverses études montrant la pertinence d'incorporer ce type de travail dans la salle de classe. En effet, cela permet de surmonter des obstacles et des difficultés et de développer des habilités mathématiques. Pour l'analyse des productions des élèves, l'objet de cette étude, on a conçu des catégories mettant en valeur cette méthodologie. Au niveau des résultats, on remarque un développement manifeste des capacités cognitives, métacognitives, de formation transversale et une pratique efficace dans l'utilisation des concepts et des processus mathématiques.
Mots clés: Modèles mathématiques, processus de modélisation, modèles et projets, éducation niveau collège.

Resumo: Nesta investigação se analisa a produção matemática de um grupo de estudantes da escola secundária, quando se propõe um trabalho de projetos baseado na modelagem de situações. Na elaboração e implementação da proposta didática, se consideraram diversos estudos que mostram a conveniência de se incorporar em sala de aula este tipo de trabalho, tanto para superar obstáculos e dificuldades como para o desenvolvimento de habilidades matemáticas. Para a análise das produções dos alunos, objeto do estudo, se desenharam categorias que permitiram aplicar esta metodologia. A nível de resultados a um manifesto de capacidades cognitivas, metacognitivas e de formação transversal, como também, um desempenho eficiente na utilização de conceitos e processos matemáticos.
Palavras-chave: Modelos matemáticos, processos de modelagem, modelos e projetos, educação secundária.

Cindy Stenger clstenger@una.edu
University of North Alabama, USA
Kirk Weller wellerk@umflint.edu
University of Michigan – Flint, USA
Ilana Arnon ILanaA@cet.ac.il
Center for Educational Technology, Tel-Aviv, Israel
Ed Dubinsky edd@math.kent.edu y eddub@mindspring.com
Florida International University, USA             
Draga Vidakovic matdnv@langate.gsu.edu draga@gsu.edu
Georgia State University, USA

Recepción: Agosto 6, 2007
Aceptación: Enero 24, 2008

Abstract: This study considers the question of whether individuals build mental structures for the set P(N) that give meaning to the phrase, "all subsets of N." The contributions of our research concerning this question are two-fold. First, we identified constructivist perspectives that have been, or could be used to describe thinking about infinite sets, specifically, the set of natural numbers N. Second, to determine whether individuals' thinking about the set P(N) can be interpreted in terms of one or more of the perspectives we considered, we analyzed the thinking of eight mathematicians. Beyond negative conceptions, that is, what P(N) is not, the results of our analysis cast doubt on whether individual understanding of the set P(N) extends beyond the formal definition. We discuss the possible implications of our findings, and indicate further research arising from this study.
Keywords: Uncountable sets, APOS, metaphor, power set, natural numbers, mental images.

Résumé: Dans cette étude nous nous demandons si les individus construisent des structures mentales spécifiques pour l' ensemble P(N) («ensemble des sous-ensembles de N»). Nous décrivons ici deux des principaux apports de notre recherche en relation à cette question. Nous identifions tout d' abord les perspectives constructivistes utilisées ou potentiellement utilisables pour décrire les mécanismes de la pensée à propos des ensembles infinis, et en particulier l' ensemble des entiers naturels. Ensuite, pour déterminer si ces mécanismes de pensée des individus sur l' ensemble P(N) peuvent être interprétés en termes d' une ou plusieurs des perspectives considérées, nous analysons la forme de penser de huit mathématiciens. Au-delà des conceptions négatives, c'est-à-dire les approches de P(N) essentiellement par ce qu' il n' est pas, les résultats de notre analyse laissent à penser que la compréhension des individus de l' ensemble P(N) n' est va pas au delà de la définition formelle. Nous exposons enfin les possibles implications de nos résultats et nous soulignons de futurs sujets de recherche que cette étude peut dégager.
Mots clés: Ensembles non dénombrables, APOE, métaphore, l' ensemble des parties, entiers naturels, images mentales.

Resumo: No presente estudo nos preguntamos se os indivíduos constroem estruturas mentais para o conjunto P(N) que dá significado a expressão "todos os subconjuntos de N". Os aportes de nossa investigação em relação a esta pregunta tem duas vertentes. Primeiramente, indentificamos as perspectivas construtivistas que seriam ou poderiam ter sido utilizadas para descobrir os mecanismos de pensamento acerca dos conjuntos infinitos, em particular o conjunto dos números naturais. Segundo, para determinar se esses mecanismos de pensamento dos indivíduos em relação ao conjunto P(N) podem ser interpretados em termos de uma ou mais das perspectivas consideradas, analisamos a forma de pensar de oito matemáticos. Além das concepções negativas, isto é, de que P(N) não é, os resultados de nossas análises trouzeram a dúvida sobre se os indivíduos compreendem o conjunto P(N) além da definição formal. Falamos das possíveis implicações de nossas descobertas e indicamos futuros temas de investigação que poderão surgir deste estudo.
Palavras-chave: Fundamentos da matemática, filosofia da matemática, pedagogia da matemática.

Marta  Elena  Valdemoros mvaldemo@cinvestav.mx
Centro  de  Investigación  y  de  Estudios  Avanzados  del  Instituto  Politécnico Nacional, México, D.F.
Elena Fabiola Ruiz elen_fruiz@yahoo.com.mx
Instituto Politécnico Nacional, México, D.F.

Recepción: Septiembre 20, 2006
Aceptación: Julio 4, 2007

Abstract: In a recently concluded exhaustive, qualitative investigation carried out in an evening primary school in Mexico City, we follow the case of Lucina along with four others. The research alternated the use of natural numbers, fractions and decimals; here we deal exclusively with the semantic and conceptual enrichment of fractions, in the resolution of problems which allow the reconstruction of vital experiences of the subject. The study was made up of an exploratory questionnaire and two didactical interviews with this 41-year-old woman who attends 6th grade elementary school, the interviews being the main source of information of the study. We have selected Lucina' s case because she has recently returned to school, has shown a solid performance on the questionnaire and a satisfactory level of reflection on the nature of her own development.
Keywords: Adult, meanings of fraction, measure, quotient, ratio, multiplying operator.

Résumé: Dans une enquête qualitative récemment conclue, réalisée dans une école élémentaire nocturne à México, nous avons suivi le cas de Lucina et quatre autres cas. L'enquête effectuée concerne l'usage des nombres naturels, rationnels et décimaux; ici on aborde exclusivement l'enrichissement sémantique et conceptuel des fractions, dans la résolution des problèmes permettant la reconstruction des expériences vitales du sujet. L'étude comportait un questionnaire exploratoire et deux entretiens de type didactique. Parmi ces entretiens, les plus révélateur ont été ceux réalisés avec cette femme de 41 ans, élève de CM2. Nous avons sélectionné le cas de Lucina parce qu'elle est retournée récemment à l'école. Le travail qu'elle a produit lors du questionnaire a été considéré comme pertinent pour cette étude, d'autant plus qu'elle a fait preuve de recule critique quant à ses réponses.
Mots clés: Adulte, significations de fraction, mesure, quotient, raison, opérateur multiplicatif.

Resumo: Numa investigação qualitativa recentemente concluída, realizada numa escola primária noturna da cidade do México, seguimos o caso de Lucina junto com mais quatro casos. A investigação efetuada alternou o uso de números naturais, fracionários e decimais; abordamos aqui exclusivamente o enriquecimento semântico e conceitual das frações, na resolução de problemas que permitem a reconstrução das experiências vitais do sujeito. O estudo estava integrado por um questionário exploratório e duas entrevistas didática aplicada a esta mulher de 41 anos, do sexto ano, sendo as entrevistas a principal fonte de informação do mesmo. Selecionamos o caso de Lucina porque ela tinha regressado recentemente a escola, tinha exibido um sólido desempenho no questionário e um satisfatório nível de refelxão acerca da naturaza de suas próprias elaborações.
Palavras-chave: Adulto, significados da fração, medida, quociente, razão, operador multiplicativo.